Мед и хлопья (10—11)

На левом$(L)$ и правом $(R)$ берегах Молочной реки живут $160$ и $200$ человек соответственно, которые потребляют на завтрак только блюдо «Хлопья с медом», приготовленное по старинным рецептам. Каждый житель любит такие завтраки и готов их съесть чем больше, тем лучше.

Рецепты на разных берегах отличаются. Жителям Левого берега одного литра меда хватает на $50$ порций кукурузных хлопьев, в то время как жители Правого любят менее сладкие хлопья и одного литра им хватает на $100$ порций. Иными словами, если $y$ – это объем кукурузных хлопьев, измеряемый в порциях, а $b$ – объем меда в литрах, то $y_L=50b_L$ и $y_R=100b_R$. Чтобы сделать порцию завтрака, нужно смешать кукурузные хлопья с медом непременно в заданной пропорции и добавить молоко.

Молоко у жителей есть в неограниченном количестве, а мед и хлопья нужно производить. Каждый житель может тратить свое рабочее время на пасеке или в кукурузном поле. Будем считать, что один пасечник может следить за одним ульем пчел, который производит $1$ литр меда. Урожай кукурузы зависит от интенсивности опыления пчелами. Некоторые пчелы летают в том числе на другой берег и опыляют кукурузу там, поэтому ежемесячный урожай кукурузы на каждом берегу зависит от того, сколько пчел на обоих берегах:

$y_L = (b_L + 0,25b_R) \cdot x_L, \\ y_R = (b_R + 0,25b_L) \cdot x_R,$

где $y$ – производство кукурузных хлопьев, $b$ – количество ульев пчел, $x$ – число рабочих, занятых в производстве кукурузных хлопьев (может быть нецелым). Индексы у всех переменных означают берег.

а) ( $3$ балла) Пусть каждый регион независимо принимает решение о распределении труда между отраслями. Постройте графически кривую производственных возможностей каждого берега для какого-то фиксированного числа ульев на другом берегу. Назовем равновесием такое состояние, когда жители каждого берега не захотят менять распределение труда после того, когда узнают число ульев у другого берега. Сколько меда и хлопьев будет произведено в равновесии?

б) ( $3$ балла) Предположим, два берега объединили усилия и совместно решают, как распределить трудовые ресурсы между пасеками и полями (при этом люди переплывать на другой берег не могут, но передавать мед и хлопья могут). Найдите общую границу производственных возможностей двух берегов. Покажите, что можно достичь большего числа завтраков для каждого берега по сравнению с пунктом а).