Ловушка бедности
Несмотря на развитие социальных лифтов, таких как образование, межпоколенческая социальная мобильность остаётся весьма ограниченной во многих странах. Так, для американца, родившегося в семье из числа $20\%$ наиболее бедных, шанс иметь доход на уровне $20\%$ самых богатых составляет всего лишь около $7\%$. В то же время его сверстник, родившийся в семье из $20\%$ самых богатых, станет богаче, чем $80\%$ его сверстников с вероятностью $35\%$. В этой задаче мы проанализируем то, как зависимость доходов ребёнка от доходов родителя влияет на программы борьбы с бедностью.
В стране $N$ доход родителей однозначно определяет доход детей. В таблице ниже для всех возможных значений дохода родителей (в тугриках) указано значение дохода их детей (в тугриках). Эта зависимость сохраняется из поколения в поколение.
- а)
Доход Анны, Бориса и Виктории равен $19$, $20$ и $21$ тугрикам соответственно. Чему будут равны доходы их внуков? Чему будут равны доходы их потомков $100$ поколений спустя?
- б)
Назовём стационарным состоянием такой уровень дохода, который может поддерживаться неизменным из поколения в поколение сколь угодно долго. Каковы стационарные состояния в стране $N$ ?
Теперь рассмотрим страну $M$, в которой зависимость дохода детей $(y)$ от дохода родителей $(x)$, оба из которых указаны в зайчиках, описывается следующей функцией
$y = \begin{cases} \frac{x^2}{30}, & x \in [0; 30] \\ 30, & x \in (30; 100) \\ \frac{(x - 100)^2}{30} + 100, & x \geq 100 \end{cases}$
- в)
Каковы стационарные состояния дохода в стране $M$ ?
- г)
Какой заработок будет у трёх ближайших поколений, если родители зарабатывают $15$ зайчиков? Какую динамику вы наблюдаете? Что будет происходить через бесконечное число периодов?
- д)
Пусть доход родителей равен $a\geq0$ зайчикам. Какой заработок будет у трёх ближайших поколений? Какую динамику вы наблюдаете? Что будет происходить через бесконечное число периодов? Ответ может зависеть от значения параметра $a$**.**
Назовём бедным человека, доход которого ниже прожиточного минимума. Изначально прожиточный минимум установлен на уровне $30$ зайчиков.
- е)
Рассмотрим индивида с уровнем дохода $m$ зайчиков, меньшим, чем прожиточный минимум. Программа помощи бедным повышает доход индивида на $S$ зайчиков на всё время жизни индивида. При каких значениях $m$ и $S$ программы будет достаточно для того, чтобы все потомки индивида не были бедными? Может ли быть такое, что дети индивида не будут бедными, а внуки — будут?
- ж)
Как изменится ваш ответ на вопросы предыдущего пункта, если прожиточный минимум равен $110$ зайчикам?
- з)
На основе ваших ответов на два предыдущих пункта объясните, почему программы помощи бедным в развивающихся странах иногда имеют только краткосрочный положительный эффект.