Магазин между деревнями

Олигополия и теория игр Внешние эффекты и общественные блага ★★★★☆

качественная развёрнутая задача на доказательство есть разбалловка Школково – банк задач по экономике

Население деревни Вилларибо проживает равномерно на отрезке $[0;\,1]$, а деревни Виллабаджо — равномерно на отрезке $[2;\,3]$. В Вилларибо и Виллабаджо приехал владелец сети магазинов «Кукумбрикс», который объявил, что сеть построит первый и единственный магазин в окрестности, а в какой точке прямой $(-\infty;\,+\infty)$ он будет построен — решать жителям деревень. Конечно, каждый житель хочет, чтобы магазин был построен как можно ближе к его дому.

Обычно все общие географические вопросы жители Вилларибо и Виллабаджо решают, используя механизм «Посередине между делегатами». А именно, сначала каждая деревня выбирает по одному делегату. Затем, если дом делегата Вилларибо находится в точке с координатой $a$, а дом делегата Виллабаджо имеет координату $b$, то решением вопроса является точка с координатами $\frac{a+b}{2}$. Делегатом $a$ будем называть того, который живёт в точке с координатой $a$.

а) Изобразите на прямой $(-\infty;\,+\infty)$ множество всех точек, в которых хотя бы при какой-нибудь паре делегатов может быть построен магазин.

б) Докажите, что жителям Вилларибо для выбора делегата не нужна информация о делегате от Виллабаджо: если житель Вилларибо $x$ предпочитает делегата от Вилларибо $a_1$ делегату $a_2$ при делегате от Виллабаджо $b_1$, то житель Вилларибо $x$ предпочтёт делегата от Вилларибо $a_1$ делегату $a_2$ при любом другом делегате от Виллабаджо $b_2$.

в) В этом и только в этом пункте считаем, что жители деревень выбирают в качестве делегата победителя по Кондорсе — такого жителя деревни, что его предпочтёт не менее половины жителей этой деревни при голосовании против любого другого жителя деревни (корректность определения следует из предыдущего пункта). Где будет построен магазин?

г) Говорят, что механизм принятия решений является манипулируемым, если существует такая пара делегатов от деревень, что хотя бы одному из делегатов выгодно скрыть настоящее место расположения своего дома и использовать для принятия решения какую-то другую координату. Докажите, что описанный механизм принятия решений является манипулируемым.

д) Предложите какой-нибудь механизм принятия решений, выдающий по паре делегатов $a$ и $b$ место для магазина и не являющийся манипулируемым.

Примечание: Это значит, что на любом отрезке длиной $\alpha \leq 1$ внутри отрезка $[0;\,1]$ проживает доля $\alpha$ населения деревни.