Задача о золотом сечении

Аналитическое решение: Пусть $P_d = a - bQ$ и $P_s = cQ$. Первоначальное равновесие: $P_d = P_s \Rightarrow Q_0 = \frac{a}{{b + c}};{\rm{ }}P_0 = \frac{{ac}}{{b + c}}.$ Для нахождения нового равновесия будем использовать известный факт о том, что кривая предельных издержек картеля совпадает с кривой предложения на конкурентном рынке (вообще говоря, это требует отдельного доказательства): $MR = a - 2bQ = MC = cQ \Rightarrow Q_1 = \frac{a}{{2b + c}};{\rm{ }}P_1 = \frac{{a(b + c)}}{{2b + c}}.$ По условию, $P_1 Q_1 = P_0 Q_0$. $\frac{{a^2 (b + c)}}{{(2b + c)^2 }} = \frac{{a^2 c}}{{(b + c)^2 }} \Rightarrow (b + c)^3 = c(2b + c)^2 \Rightarrow b^2 - bc - c^2 = 0.$ Решая последнее уравнение относительно $b$, получаем: $b = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}c$. $\frac{{P_1 }}{{P_0 }} = \frac{{a(b + c)}}{{2b + c}}:\frac{{ac}}{{b + c}} = \frac{{(b + c)^2 }}{{c(2b + c)}} = \frac{{c^2 \left( {(\sqrt 5 + 1)/2 + 1} \right)^2 }}{{c^2 \left( {2 \cdot (\sqrt 5 + 1)/2 + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \Rightarrow \Delta \% (P) \approx 61,8\%.$ $\frac{{Q_1 }}{{Q_0 }} = \frac{a}{{2b + c}}:\frac{a}{{b + c}} = \frac{{b + c}}{{2b + c}} = \frac{{c\left( {(\sqrt 5 + 1)/2 + 1} \right)}}{{c\left( {2 \cdot (\sqrt 5 + 1)/2 + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \Rightarrow \Delta \% (Q) \approx - 38,2\%.$ $E_0 = - \frac{1}{b} \cdot \frac{{P_0 }}{{Q_0 }} = - \frac{{ac}}{{b(b + c)}}:\frac{a}{{b + c}} = - \frac{c}{b} = - \frac{2}{{\sqrt 5 + 1}} = - \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \approx - 0,618.$ $E_1 = - \frac{1}{b} \cdot \frac{{P_1 }}{{Q{}_1}} = - \frac{{a(b + c)}}{{b(2b + c)}}:\frac{a}{{2b + c}} = - (1 + \frac{c}{b}) = - \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \approx - 1,618.$ Индекс Лернера: $L = \frac{1}{{\left| {E_1 } \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 5 + 1}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \approx 0,618$. Для того чтобы найти отношение прибылей, выведем функцию переменных издержек картеля: $MC(Q) = cQ \Rightarrow VC(Q) = \frac{c}{2}Q^2$. Тот факт, что функцию издержек картеля можно использовать и для нахождения совокупных издержек конкурентной отрасли также примем без доказательства. $\frac{{\pi _{monopoly} }}{{\pi _{competition} }} = \frac{{P_1 Q_1 - VC(Q_1 ) - 0}}{{P_0 Q_0 - VC(Q_0 ) - 0}} = \frac{{\frac{{a^2 (b + c)}}{{(2b + c)^2 }} - \frac{c}{2} \cdot \frac{{a^2 }}{{(2b + c)^2 }}}}{{\frac{{a^2 c}}{{(b + c)^2 }} - \frac{c}{2} \cdot \frac{{a^2 }}{{(b + c)^2 }}}}=\\ = \frac{{(b + c)^2 }}{{c(2b + c)}} = \frac{{P_1 }}{{P_0 }} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \approx 1,618.$ Значит, прибыль выросла примерно на $61,8\%$. Сговор, что называется, себя оправдал. Геометрическое решение: Обозначим $\hat q = \frac{{q_1 }}{{q_0 }},{\rm{ }}\hat p = \frac{{p_1 }}{{p_0 }}.$ Тогда, раз выручка не изменилась, очевидно, что $\hat p\hat q = 1.$ Второе уравнение для нахождения $\hat p$ и $\hat q$ получим геометрически. Функция спроса линейна $\Rightarrow$ график функции выручки является квадратной параболой. Одним из свойств квадратной параболы является, как известно, симметричность: если в двух точках значения функции равны, то эти точки находятся на равном расстоянии от точки экстремума. Поэтому рассматриваемые нами точки $Q_1$ и $Q_0$, значения выручки в которых, по условию, равны, находятся на равном расстоянии от точки $A$, в которой $MR=0$. Значит,$Q_1 Q_0 = 2Q_1 A$, и значит, прямая $EQ_0$ ровно вдвое положе прямой $EA$, то есть вдвое положе $MR$. Но кривая спроса также вдвое положе кривой $MR\Rightarrow$ прямая $EQ_0$ параллельна графику спроса. Значит,$\Delta Q_1 EQ_0 = \Delta FGC$, откуда заключаем, что $P_1 P_0 = FG = EQ_1 = OX$. Из подобия $\Delta OXE$ и $\Delta OP_0 C$ следует, что $\frac{{OX}}{{OP_0 }} = \frac{{OQ_1 }}{{OQ_0 }}$. Но, как мы уже доказали, $OX = P_1 P_0$, поэтому $\frac{{P_1 P_0 }}{{OP_0 }} = \frac{{OQ_1 }}{{OQ_0 }}$, то есть $\frac{{p_1 - p_0 }}{{p_0 }} = \frac{{q_1 }}{{q_0 }}$, или $\hat p - 1 = \hat q$. Получаем систему $\left\{ \begin{array}{l} \hat p\hat q = 1 \\ \hat p - 1 = \hat q \\ \end{array} \right.$ Ее корнями являются $\hat p = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2},{\rm{ }}\hat q = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.$ Теперь рассчитаем коэффициенты эластичности спроса. $OA = AK,{\rm{ }}Q_1 A = AQ_0 \Rightarrow OQ_1 = Q_0 K$ $E_0 = - \frac{{Q_0 K}}{{OQ_0 }} = - \frac{{OQ_1 }}{{OQ_0 }} = - \hat q = - \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.$ $E_1 = - \frac{{Q_1 K}}{{OQ_1 }} = - \frac{{OQ_0 }}{{OQ_1 }} = - \frac{1}{{\hat q}} = - \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}.$ Индекс Лернера: $L = \frac{{p_1 - MC(q_1 )}}{{p_1 }} = \frac{{OP_1 - OX}}{{OP_1 }} = \frac{{OP_1 - P_0 P_1 }}{{OP_1 }} = \frac{{OP_0 }}{{OP_1 }} = \frac{1}{{\hat p}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.$ Общие издержки конкурентной отрасли равны площади $\Delta OCQ_0$, а общие издержки картеля – площади $\Delta OEQ_1$. Поэтому прибыль конкурентной отрасли равна площади $\Delta OP_0 C$, а прибыль картеля – площади трапеции $OP_1 FE$. $FE = OP_1 - OX = OP_1 - P_1 P_0 = OP_0 = p_0$ $\frac{{\pi _{monopoly} }}{{\pi _{competition} }} = \frac{{S_{OP_1 FE} }}{{S_{OP_0 C} }} = \frac{{OQ_1 \cdot (OP_1 + FE)/2}}{{OP_0 \cdot OQ_0 /2}} = \frac{{q_1 (p_1 + p_0 )}}{{q_0 p_0 }}=\\ = \hat q(\hat p + 1) = \hat q\hat p + \hat q = 1 + \hat q = \hat p = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}.$ Ответ: $\Delta \% (P) \approx + 61,8\% ;{\rm{ }}\Delta \% (Q) \approx - 38,2\%;$ $\begin{array}{l} {\rm{ }}E_0 \approx - 0,618;{\rm{ }}E_1 \approx - 1,618;{\rm{ }}L \approx 0,618;\\ \Delta \% (\pi ) \approx + 61,8\% . \\ \end{array} $ Примечание: Данная задача наглядно иллюстрирует тот факт, что знаменитые числа «золотого сечения» $\varphi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$ и $\Phi = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$, которыми восхищались еще древние греки, добрались, похоже, и до экономических моделей. Подробнее о «золотом сечении» см. kvant.mirror1.mccme.ru/1973/08/zolotoe_sechenie.htm