Прибыльное Средиземье
Когда Бильбо Бэггинс вернулся в Шир после Битвы Пяти Воинств, он осознал, что в скором времени все богатства, которые он добыл в походе (в сумме составлявшие 10000 денежных единиц) обесценятся из-за инфляции, которая каждый год составляет 10%. Предприимчивый хоббит, не долго думая, решил заставить свои деньги работать и прикинул для себя 2 возможных варианта действий: 1) Отдать 8000 из своих денег Гэндальфу, который как раз собирался открыть производство табачного зелья. В этом случае первый год прибылей ждать не придется, а во все последующие года маг обещал выплачивать Бильбо по 1936 денежных единиц. 2) Открыть собственное предприятие по производству табачного зелья и конкурировать с Гэндальфом по Курно. В этом случае для открытия собственного бизнеса придется потратить всю сумму, имеющуюся у Бильбо (в нулевом периоде), а прибыли полученные каждый год (также начиная с нулевого периода) дисконтируются в соответствии с величиной инфляции. Каждый год спрос на табачное зелье описывается функцией $Q=920-10P$, а в силу отсутствия технического прогресса последнюю тысячу лет, у любого завода по производству табачного зелья издержки равны $TC=Q^2$. Помогите хоббиту принять решение. P.S. Бильбо не боится мага и других издержек кроме как производственных (если он откроет собственный завод) не несет.
Решение
Если он выбирает первый вариант, то 2000 у него остаются, а все прибыли дисконтируются, и их величина сводится к формуле суммы членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $\frac{1}{1,1}$ и с первым членом равным $\frac{1936}{1,1}$, так как первая выплата будет произведена только во втором году. $PV_1=2000+\frac{\frac{1936}{1,1}}{1-\frac{1}{1,1}}=2000+\frac{1936}{0,1}=21360$ Если он выбирает конкурировать, то можно записать прибыль Бильбо ($Q_1$-количество Бильбо, $Q_2$-количество Гэндальфа): $\pi_1=(92-\frac{Q_1}{10}-\frac{Q_2}{10})*Q_1-Q_1^2=Q_1(92-\frac{Q_2}{10})-11*\frac{Q_1^2}{10}$ Заметим, что функции издержек у заводов одинаковы, значит у Гэндальфа такая же функция прибыли (только от его значения Q_2). Промаксимизируем обе функции прибыли, взяв первую производную, либо по формуле вершины параболы. Получим: $92-\frac{Q_2}{10}-22*\frac{Q_1}{10}=0$ и $92-\frac{Q_1}{10}-22*\frac{Q_2}{10}=0$ Отсюда получаем, что $Q_1=Q_2=40$. Значит $P=84$, а $\pi_1=84*40-40^2=44*40=1760$. Приведем прибыли к нулевому периоду. $PV_2=1760/(1-\frac{1}{1,1})=19360$ Ответ: Приведенное значение всех выплат в первом случае составило $21360$, а во втором случае $19360$. Значит, Бильбо выгодно выбрать первый вариант.