Мороженое для чемпиона
Юный экономист Авогорип потребляет только мороженое, которое всегда измеряет в деньгах, потраченных на лакомство. При этом Авогорип решил найти максимум полезности в своей жизни, в чём ему и необходимо помочь. Каждый понедельник брат Авогорипа — Ашограм — даёт ему $500$ рублей. В пятницу Ашограм даёт своему брату такую же сумму. Таким образом, жизнь Авогорипа делится на два периода — с понедельника по четверг и с пятницы до воскресенья. Полезность Авогорипа задаётся функцией $U = c_1 c_2$, где $c_1$ — количество потреблённого мороженого в денежном выражении в первом периоде, а $c_2$ — во втором. В понедельник Авогорип может положить часть денег (или всю сумму) на вклад под ставку $10\%$ или же взять деньги в кредит под такую же ставку. В пятницу ему придётся отдать долг с начисленными процентами или получить свой вклад (также с процентами).
Подпункты
а)
{Помогите Авогорипу определиться, при каких значениях $c_1$ и $c_2$ его полезность максимальна. }
б)
{Ставку по кредиту подняли до 20%, ответьте на вопрос предыдущего пункта.}
в)
{Авогорип очень нетерпелив, поэтому его функция полезности задается уравнением $U = c_1^2 c_2$. Найдите оптимальные $c_1$ и $c_2$. Ставка по кредиту также составляет 20%.}
Решение
Наёдем максимум бюджетное ограничение Авогорипа в координатах $c_1$ и $c_2$. Очевидно, что нам доступна точка (500;500) - тогда Авогорип не берёт кредиты и не кладёт вклады. Авогорип может увеличить $c_1$, взяв кредит. Тогда будет верно следующее: $(c_1 - 500)*1.1 = 500 - c_2$. То есть сумма, которую он возьмёт в кредит после начисления процентов должна в точности равняться сумме, которую он отдаст во втором периоде (данную сумму он вычтет из 500 долларов, которые получит во втором периоде). Если же Авогорип кладёт вклад, верно следующее: $(500 - с_1)*1.1 = c_2 - 500$. Так как ставка по кредиту равна ставке по депозиту, эта функция совпадает с функцией, описаной для кредита. Выразим $c_2$: $c_2 = 1050 - 1.1c_1$. Подставим в функцию полезности и промаксимизмируем. $U = c_1 * (1050 - c_1)$ - очередная парабола ветвями вниз, максимум в вершине. $c_1^* = \frac{5250}{11}, c_2^* = 525$.
Бюджетка для депозита: $(500 - с_1)*1.1 = c_2 - 500$. Бюджетка для кредита: $(c_1 - 500)*1.2 = 500 - c_2$. $c_2 = 1050 - 1.1c_1, c_1 \leq 500$; $c_2 = 1100 - 1.2c_1, c_1 \geq 500$. Подставляем обе части бюджетного ограничения в полезность и аккуратно максимизируем.
Из пункта а) знаем, что для первого участка($c_1 \leq 500$) оптимум $c_1^* = \frac{5250}{11}, c_2^* = 525$. Найдём максимум для второго участка. $U = c_1 * (1100 - 1.2c_1)$ - ещё одна парабола ветвями вниз, максимум в вершине. $c_1^* = \frac{1375}{3}$ - не попадает под ограничение, значит максимум в ближайшей к вершине точке, где $c_1 = c_2 = 500$. Из максимизации первого участка знаем, что в точке $c_1^* = \frac{5250}{11}, c_2^* = 525$ полезность выше. Ответ: $c_1^* = \frac{5250}{11}, c_2^* = 525$.
Бюджетные ограничения берём из пункта б). Меняется только максимизация. $U = c_1^2 * (1050 - 1.1c_1)$, максимизируется довольно не сложно через производную. $с_1^* = \frac{7000}{11}$, не подходит под ограничение, функция полезности кубическая,т если сделать эскиз графика (или просто исследовать производную) станет понятно, что максимум в ближайшей точке, то есть $c_1^* = 500, c_2^* = 500$. Максимизируем функцию на втором участке: $U = c_1^2 * (1100 - 1.2c_1) \Rightarrow max$. $c_1^* = \frac{5500}{9}, c_2^* = \frac{1100}{3}$ - в этой точке и достигается искомый максимум полезности.
Бюджетка для депозита: $(500 - с_1)*1.1 = c_2 - 500$. Бюджетка для кредита: $(c_1 - 500)*1.2 = 500 - c_2$. $c_2 = 1050 - 1.1c_1, c_1 \leq 500$; $c_2 = 1100 - 1.2c_1, c_1 \geq 500$. Подставляем обе части бюджетного ограничения в полезность и аккуратно максимизируем.
Из пункта а) знаем, что для первого участка($c_1 \leq 500$) оптимум $c_1^* = \frac{5250}{11}, c_2^* = 525$. Найдём максимум для второго участка. $U = c_1 * (1100 - 1.2c_1)$ - ещё одна парабола ветвями вниз, максимум в вершине. $c_1^* = \frac{1375}{3}$ - не попадает под ограничение, значит максимум в ближайшей к вершине точке, где $c_1 = c_2 = 500$. Из максимизации первого участка знаем, что в точке $c_1^* = \frac{5250}{11}, c_2^* = 525$ полезность выше. Ответ: $c_1^* = \frac{5250}{11}, c_2^* = 525$.
Бюджетные ограничения берём из пункта б). Меняется только максимизация. $U = c_1^2 * (1050 - 1.1c_1)$, максимизируется довольно не сложно через производную. $с_1^* = \frac{7000}{11}$, не подходит под ограничение, функция полезности кубическая,т если сделать эскиз графика (или просто исследовать производную) станет понятно, что максимум в ближайшей точке, то есть $c_1^* = 500, c_2^* = 500$. Максимизируем функцию на втором участке: $U = c_1^2 * (1100 - 1.2c_1) \Rightarrow max$. $c_1^* = \frac{5500}{9}, c_2^* = \frac{1100}{3}$ - в этой точке и достигается искомый максимум полезности.