% есть на айлаве
В некоторой стране есть два экономических агента — Феодал и Крестьянин. Урожай Крестьянина \(Y = e + Z\) зависит от его усилий \(e\) и природного фактора \(Z\) ($Z \in (0; 1)$). Жизнь Крестьянина нелегка. Во-первых, труд его тяжел: свои издержки на уровень усилий \(e\) Крестьянин оценивает в \(\tfrac{e^2}{2}\) единиц урожая. Во-вторых, Феодал изымает у Крестьянина в виде оброка долю \(t\) урожая, причем эту ставку Феодал устанавливает так, чтобы максимизировать физический объем урожая, который он получит. Крестьянин же максимизирует количество остающегося у него урожая за вычетом издержек на усилия, то есть величину \(U=(1-t)Y-\tfrac{e^2}{2}\).
Более детально процесс взаимодействия Феодала и Крестьянина во времени выглядит так:
1. Оба узнают значение \(Z\);
2. Феодал назначает ставку оброка \(t\);
3. Зная ставку оброка, Крестьянин выбирает уровень усилий \(e\);
4. Крестьянин трудится, прилагая выбранный уровень усилий \(e\), и долю \(t\) урожая отдает Феодалу.
Более детально процесс взаимодействия Феодала и Крестьянина во времени выглядит так:
1. Оба узнают значение \(Z\);
2. Феодал назначает ставку оброка \(t\);
3. Зная ставку оброка, Крестьянин выбирает уровень усилий \(e\);
4. Крестьянин трудится, прилагая выбранный уровень усилий \(e\), и долю \(t\) урожая отдает Феодалу.
Подпункты
а)
Найдите выбираемые Феодалом ставку оброка \(t^*\) и выбираемый Крестьянином уровень усилий \(e^*\) как функции от природных условий \(Z\). Возрастают или убывают функции \(t^*(Z)\) и \(e^*(Z)\)? Поясните интуитивно.
б)
Верно ли, что чем благоприятнее природные условия, тем Крестьянину будет лучше? Если Ваш ответ «нет», то из-за чего возникает такой «парадоксальный» результат? Кроме того, если Ваш ответ «нет», найдите значение \(Z\), при котором \(U\) максимально.