Равновесие на рынке кофе: анализ сдвигов кривых
Функции спроса и предложения на рынке кофе в условной стране заданы уравнениями:
- Спрос:
\( Q_d = 1200 - 2P + 0.1I + 0.5P_t \)
- Предложение:
\( Q_s = 4P - 0.2C - 100 \)
Переменные:
- \( Q_d, Q_s \) – объем спроса и предложения (тонн в месяц),
- \( P \) – цена кофе (д.е. за тонну),
- I – средний доход потребителей (д.е. в месяц),
- \( P_t \) – цена чая (д.е. за тонну, товар-заменитель),
- \( C \) – стоимость производства кофе (д.е. за тонну).
Исходные данные (начальное равновесие):
- $I = 5000$,
- $P_t = 2000$,
- $C = 1000$
- Спрос:
\( Q_d = 1200 - 2P + 0.1I + 0.5P_t \)
- Предложение:
\( Q_s = 4P - 0.2C - 100 \)
Переменные:
- \( Q_d, Q_s \) – объем спроса и предложения (тонн в месяц),
- \( P \) – цена кофе (д.е. за тонну),
- I – средний доход потребителей (д.е. в месяц),
- \( P_t \) – цена чая (д.е. за тонну, товар-заменитель),
- \( C \) – стоимость производства кофе (д.е. за тонну).
Исходные данные (начальное равновесие):
- $I = 5000$,
- $P_t = 2000$,
- $C = 1000$
Подпункты
а)
Найдите равновесные цену и количество кофе.
Как изменится равновесие, если:
1) Из-за засухи стоимость производства \( C \) вырастет на 20%?
2) Доходы потребителей \( I \) увеличатся до 6000?
3) Одновременно произойдут оба изменения (п. 2а и 2б)?
Постройте графики для всех трех сценариев, отметив сдвиги кривых.
При каких значениях \( P_t \) и \( I \) рынок окажется в ситуации, где предложение превысит спрос на 200 тонн при цене \( P = 1500 \)?
Как изменится равновесие, если:
1) Из-за засухи стоимость производства \( C \) вырастет на 20%?
2) Доходы потребителей \( I \) увеличатся до 6000?
3) Одновременно произойдут оба изменения (п. 2а и 2б)?
Постройте графики для всех трех сценариев, отметив сдвиги кривых.
При каких значениях \( P_t \) и \( I \) рынок окажется в ситуации, где предложение превысит спрос на 200 тонн при цене \( P = 1500 \)?
Решение
1. Исходное равновесие:
Подставляем исходные данные в уравнения:
$$
\begin{align*}
Q_d &= 1200 - 2P + 0.1 \times 5000 + 0.5 \times 2000 \\
&= 1200 - 2P + 500 + 1000 = 2700 - 2P \\
Q_s &= 4P - 0.2 \times 1000 - 100 = 4P - 200 - 100 = 4P - 300
\end{align*}
$$
В равновесии $Q_d = Q_s$:
$$
\begin{align*}
2700 - 2P &= 4P - 300 \\
3000 &= 6P \\
P^* &= 500 д.е. \\
Q^* &= 4 \times 500 - 300 = 1700 тонн
\end{align*}
$$
2. Анализ изменений:
а) При росте $C$ на 20% ($C=1200$):
$$
\begin{align*}
Q_s^{new} &= 4P - 0.2 \times 1200 - 100 = 4P - 340 \\
2700 - 2P &= 4P - 340 \\
3040 &= 6P \\
P^{new} &\approx 506.67 д.е. \\
Q^{new} &\approx 1686.67 тонн
\end{align*}
$$
Вывод: цена растет, объем падает (сдвиг кривой предложения влево).
б) При $I=6000$:
$$
\begin{align*}
Q_d^{new} &= 1200 - 2P + 600 + 1000 = 2800 - 2P \\
2800 - 2P &= 4P - 300 \\
3100 &= 6P \\
P^{new} &\approx 516.67 д.е. \\
Q^{new} &\approx 1766.67 тонн
\end{align*}
$$
Вывод: растут и цена, и объем (сдвиг кривой спроса вправо).
в) Оба изменения:
$$
\begin{align*}
Q_d &= 2800 - 2P \\
Q_s &= 4P - 340 \\
2800 - 2P &= 4P - 340 \\
3140 &= 6P \\
P^{new} &\approx 523.33 д.е. \\
Q^{new} &\approx 1753.33 тонн
\end{align*}
$$
3. Графики:
• Исходное равновесие: $E_0(500;1700)$
• Сценарий 2а: $E_1(506.67;1686.67)$ - сдвиг $S$ влево
• Сценарий 2б: $E_2(516.67;1766.67)$ - сдвиг $D$ вправо
• Сценарий 2в: $E_3(523.33;1753.33)$ - оба сдвига
4. Условие $Q_s - Q_d = 200$ при $P=1500$:
$$
\begin{align*}
Q_s(1500) &= 4 \times 1500 - 0.2C - 100 \\
Q_d(1500) &= 1200 - 2 \times 1500 + 0.1I + 0.5P_t \\
Q_s - Q_d &= (6000 - 0.2C - 100) - (-1800 + 0.1I + 0.5P_t) = 200 \\
&\Rightarrow 7700 - 0.2C - 0.1I - 0.5P_t = 200 \\
&\Rightarrow 0.1I + 0.5P_t + 0.2C = 7500
\end{align*}
$$
Пример решения: при $C=1000$ получаем $0.1I + 0.5P_t = 7300$.
\boxed{
$$
\begin{aligned}
&Исходное равновесие: P^*=500,\ Q^*=1700 \\
&Сценарий 2а: P=506.67,\ Q=1686.67 \\
&Сценарий 2б: P=516.67,\ Q=1766.67 \\
&Сценарий 2в: P=523.33,\ Q=1753.33 \\
&Условие: 0.1I + 0.5P_t + 0.2C = 7500
\end{aligned}
$$
Подставляем исходные данные в уравнения:
$$
\begin{align*}
Q_d &= 1200 - 2P + 0.1 \times 5000 + 0.5 \times 2000 \\
&= 1200 - 2P + 500 + 1000 = 2700 - 2P \\
Q_s &= 4P - 0.2 \times 1000 - 100 = 4P - 200 - 100 = 4P - 300
\end{align*}
$$
В равновесии $Q_d = Q_s$:
$$
\begin{align*}
2700 - 2P &= 4P - 300 \\
3000 &= 6P \\
P^* &= 500 д.е. \\
Q^* &= 4 \times 500 - 300 = 1700 тонн
\end{align*}
$$
2. Анализ изменений:
а) При росте $C$ на 20% ($C=1200$):
$$
\begin{align*}
Q_s^{new} &= 4P - 0.2 \times 1200 - 100 = 4P - 340 \\
2700 - 2P &= 4P - 340 \\
3040 &= 6P \\
P^{new} &\approx 506.67 д.е. \\
Q^{new} &\approx 1686.67 тонн
\end{align*}
$$
Вывод: цена растет, объем падает (сдвиг кривой предложения влево).
б) При $I=6000$:
$$
\begin{align*}
Q_d^{new} &= 1200 - 2P + 600 + 1000 = 2800 - 2P \\
2800 - 2P &= 4P - 300 \\
3100 &= 6P \\
P^{new} &\approx 516.67 д.е. \\
Q^{new} &\approx 1766.67 тонн
\end{align*}
$$
Вывод: растут и цена, и объем (сдвиг кривой спроса вправо).
в) Оба изменения:
$$
\begin{align*}
Q_d &= 2800 - 2P \\
Q_s &= 4P - 340 \\
2800 - 2P &= 4P - 340 \\
3140 &= 6P \\
P^{new} &\approx 523.33 д.е. \\
Q^{new} &\approx 1753.33 тонн
\end{align*}
$$
3. Графики:
• Исходное равновесие: $E_0(500;1700)$
• Сценарий 2а: $E_1(506.67;1686.67)$ - сдвиг $S$ влево
• Сценарий 2б: $E_2(516.67;1766.67)$ - сдвиг $D$ вправо
• Сценарий 2в: $E_3(523.33;1753.33)$ - оба сдвига
4. Условие $Q_s - Q_d = 200$ при $P=1500$:
$$
\begin{align*}
Q_s(1500) &= 4 \times 1500 - 0.2C - 100 \\
Q_d(1500) &= 1200 - 2 \times 1500 + 0.1I + 0.5P_t \\
Q_s - Q_d &= (6000 - 0.2C - 100) - (-1800 + 0.1I + 0.5P_t) = 200 \\
&\Rightarrow 7700 - 0.2C - 0.1I - 0.5P_t = 200 \\
&\Rightarrow 0.1I + 0.5P_t + 0.2C = 7500
\end{align*}
$$
Пример решения: при $C=1000$ получаем $0.1I + 0.5P_t = 7300$.
\boxed{
$$
\begin{aligned}
&Исходное равновесие: P^*=500,\ Q^*=1700 \\
&Сценарий 2а: P=506.67,\ Q=1686.67 \\
&Сценарий 2б: P=516.67,\ Q=1766.67 \\
&Сценарий 2в: P=523.33,\ Q=1753.33 \\
&Условие: 0.1I + 0.5P_t + 0.2C = 7500
\end{aligned}
$$