Город Волгоград имеет очень необычную планировку
Город Волгоград имеет очень необычную планировку. Он растянулся на 60 километров с севера на юг вдоль правого берега Волги. Для удобства обозначений будем считать самую северную точку Волгограда 0-ым километром, а самую южную – 60-ым. Волгоградская область славится своим мягким козьим пухом из Урюпинска. Какая досада, что в этом городе нет ни одного специализированного магазина, продающего исключительно мягкий козий пух из Урюпинска. В городе планируется открыть 2 таких магазина. Известно, что спрос на продукцию распределен равномерно вдоль реки Волга, то есть если, к примеру, в магазин станут ходить потенциальные покупатели, живущие в районе города с 0-ого по 12-ый километр, то это означает, что магазин удовлетворяет 20% спроса. Также известно, что пух из Урюпинска настолько качественный, что покупатели готовы и все 60 километров преодолеть, чтобы его заполучить, однако из двух магазинов они выберут ближайший. Если покупателям, проживающим по одному и тому же адресу, безразлично, в какой магазин идти, то одна половина из них пойдет в один магазин, а другая половина – в другой магазин.
Подпункты
а)
Как нужно расположить магазины с точки зрения минимизации максимального расстояния, которое покупателю придется преодолеть на пути от дома до магазина? Дайте аргументированный ответ, выраженный в километрах от самой северной точки города.
Предположим теперь, что магазины принадлежат разным продавцам, конкурирующим за покупателей друг с другом. Цена на пух определяется поставщиком и не зависит от местоположения магазина.
Предположим теперь, что магазины принадлежат разным продавцам, конкурирующим за покупателей друг с другом. Цена на пух определяется поставщиком и не зависит от местоположения магазина.
б)
Где разместит магазин первый владелец, если он точно знает, где расположен магазин второго владельца? Дайте ответ для всех возможных расположений второго магазина.
в)
Где разместит магазин второй владелец, если он точно знает, где расположен магазин первого владельца? Дайте ответ для всех возможных расположений первого магазина.
г)
Существует ли такое расположение магазинов, при котором каждому владельцу в отдельности не выгодно менять расположение своего магазина?
Рыночное равновесие (Олигополия)
Рыночное равновесие (Олигополия)
Решение
Будем обозначать расположение магазинов как $x_1$ и $x_2$.
(a) В этом пункте без ограничения общности перенумеруем магазины так, что $x_1 \leq x_2$. Всем потребителям, живущим севернее $(x_1+x_2)/2$ км, ближе идти до магазина 1, а всем, живущим южнее, – до магазина 2.
Наиболее удаленный от магазинов покупатель может жить либо на окраине города (0 км, 60 км), либо ровно между магазинами ($(x_1+x_2)/2$ км). Таким образом, расстояние может быть равно $x_1$, $60-x_2$, или $(x_1+x_2)/2 - x_1 = (x_2-x_1)/2$.
Соответственно нам нужно минимизировать следующее выражение:
$$\max(x_1,\;60−x_2,\; \frac{x_2-x_1}{2}) \to \min$$
Минимум достигается там, где: $x_1 = 60-x_2$ и $x_1 = \frac{x_2-x_1}{2}$
Ответ: $x_1=15,\;x_2=45$
()) Выразим функции спроса на магазин 1 в зависимости от $x_1$, $x_2$
$$
Q_1 =
\begin{cases}
x_1+\frac{x_2-x_1}{2}, x_1 < x_2 \\
60-x_1+\frac{x_2-x_1}{2}, x_1 > x_2 \\
30, x_1 = x_2
\end{cases}
$$
Предположим, что $x_2<30$. Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для 1 магазина расположения находятся рядом с магазином 2, немного к югу от него.
Предположим, что $x_2>30$. Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для 1 магазина расположения рядом с магазином 2, немного к северу от него.
Предположим, что $x_2=30$. Тогда, максимум функции достигается в точке $x_1=x_2$
(в) Аналогично пункту 2.
(г) Если $x_1<30$, то второму магазину выгодно быть рядом с магазином 1 ($x_2<30$), но немного к югу. В таком случае 1 магазину выгодно отклониться и переместиться немного к югу от магазина 2.
Аналогично для случая $x_1>30$.
В случае $x_1=30$, оптимальный ответ: $x_2=30$. В таком расположении никому не выгодно отклоняться и потому это равновесие.
(д) Нет, не эффективно. При таком расположении наибольшее расстояние до магазина составит 30, в то время как при эффективном раскладе расстояние составит 15.
(a) В этом пункте без ограничения общности перенумеруем магазины так, что $x_1 \leq x_2$. Всем потребителям, живущим севернее $(x_1+x_2)/2$ км, ближе идти до магазина 1, а всем, живущим южнее, – до магазина 2.
Наиболее удаленный от магазинов покупатель может жить либо на окраине города (0 км, 60 км), либо ровно между магазинами ($(x_1+x_2)/2$ км). Таким образом, расстояние может быть равно $x_1$, $60-x_2$, или $(x_1+x_2)/2 - x_1 = (x_2-x_1)/2$.
Соответственно нам нужно минимизировать следующее выражение:
$$\max(x_1,\;60−x_2,\; \frac{x_2-x_1}{2}) \to \min$$
Минимум достигается там, где: $x_1 = 60-x_2$ и $x_1 = \frac{x_2-x_1}{2}$
Ответ: $x_1=15,\;x_2=45$
()) Выразим функции спроса на магазин 1 в зависимости от $x_1$, $x_2$
$$
Q_1 =
\begin{cases}
x_1+\frac{x_2-x_1}{2}, x_1 < x_2 \\
60-x_1+\frac{x_2-x_1}{2}, x_1 > x_2 \\
30, x_1 = x_2
\end{cases}
$$
Предположим, что $x_2<30$. Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для 1 магазина расположения находятся рядом с магазином 2, немного к югу от него.
Предположим, что $x_2>30$. Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для 1 магазина расположения рядом с магазином 2, немного к северу от него.
Предположим, что $x_2=30$. Тогда, максимум функции достигается в точке $x_1=x_2$
(в) Аналогично пункту 2.
(г) Если $x_1<30$, то второму магазину выгодно быть рядом с магазином 1 ($x_2<30$), но немного к югу. В таком случае 1 магазину выгодно отклониться и переместиться немного к югу от магазина 2.
Аналогично для случая $x_1>30$.
В случае $x_1=30$, оптимальный ответ: $x_2=30$. В таком расположении никому не выгодно отклоняться и потому это равновесие.
(д) Нет, не эффективно. При таком расположении наибольшее расстояние до магазина составит 30, в то время как при эффективном раскладе расстояние составит 15.