Подкупаем топ-менеджера
На рынке меховых шапок в некотором регионе действуют только две фирмы. Первая фирма существует достаточно давно и является безоговорочным лидером в принятии производственных решений; вторая выбирает свой объём производства $q_2$ уже зная выпуск первой $q_1$. Обеим фирмам известна обратная функция рыночного спроса: $ P = 20 -(q_1 + q_2)$. Первоначально объёмы производства обеих фирм были таковы, что каждая получала максимально возможную для себя прибыль. Предположим, что Вы являетесь управляющим второй компанией. Вам известна функция издержек первой фирмы: $TC_1 = 3q_1 + 13$. Пост топ-менеджера первой компании только что занял некто Лисицын. Лисицын знает функцию издержек Вашей фирмы $TC_2 = q_2^2 + 4$, единолично определяет $q_1$ и максимизирует собственный доход. Вашим людям удалось выяснить, что Лисицын готов изменить выпуск первой фирмы, если при этом его доход увеличится. Так что теперь Вы рассматриваете возможность «вознаграждения» его за эту инициативу в размере $50$% от дополнительной прибыли второй фирмы, которую может создать изменение $q_1$. Сделка состоится в случае, если произойдёт как увеличение конечной (т.е. после выплаты отката) прибыли второй фирмы, так и рост дохода Лисицына.
Подпункты
а)
Найдите первоначальные объёмы производства и прибыли фирм.
б)
Предположим, что в первой компании Лисицын получает некоторое фиксированное жалование, например, $1$. Определите, состоится ли сделка: если да, укажите изменение прибылей обеих фирм и дохода топ-менеджера; если нет, объясните, из-за чего она не состоялась.
в)
Теперь допустим, что в первой компании Лисицыну выплачивается $20$% от прибыли фирмы, если она положительна. В противном случае, его заставляют компенсировать $20$% убытков. Ответьте на вопросы пункта б) при таких условиях.
г)
Наконец, пусть акционеры фирмы-лидера настроены агрессивно в отношении второй компании, и ими выбран довольно оригинальный способ оплаты труда Лисицына: он получает $25$% от разницы между прибылями первой и второй фирм (предполагается, что в издержки первой фирмы бонус менеджеру при расчёте размера выплаты не включается). Если же эта разность отрицательна, он уплачивает акционерам ровно такую же её долю. Ответьте на вышеперечисленные вопросы для такой ситуации.
д)
(*) В задаче был рассмотрен частный случай с конкретными цифрами. А зависит ли Ваш ответ на вопросы, состоится ли сделка и будет ли первая фирма производить $q_1$, в каждом из пунктов, от следующих величин соответственно: а) размер фиксированного жалования и процент от прибыли второй фирмы, выплачиваемый в качестве отката б) процент от прибыли первой фирмы, выплачиваемый в качестве бонуса, и процент от прибыли второй фирмы, выплачиваемый в качестве отката в) процент от разницы между прибылями первой и второй фирм и процент от прибыли второй фирмы, выплачиваемый в качестве отката
Решение
0) По условию, фирмы конкурируют по модели Штакельберга. Запишем функции прибыли каждой фирмы и определим кривую реакции фирмы-последователя: $q_2 = 5 - 0,25q_1$. Подставим это выражение в функцию прибыли лидера и найдём её максимум. Отсюда $q_1=8, q_2=3, \pi_1=35, \pi_2=14$. Также сразу составим функции прибыли для обеих фирм от $q_1$: $\pi_1 = -0,75q_1^2 + 12q_1 - 13; \pi_2 =0,125q_1^2 - 5q_1 + 46$. Таким образом нам удастся все функции из задачи свести к зависимостям от одной переменной. 1) Обозначим доход Лисицына как $I$. Без сделки его доход составил бы $1$. При сделке его доход $I = 1 + 0,5 (\pi_1 - 14)$. Выполнив необходимые преобразования над квадратным трёхчленом, получаем, что максимум этой функции достигается при $q_1=0$, именно такой объём и выберет топ-менеджер. Тогда $I$ и $\pi_2$ вырастут на $16$, а $\pi_1$ упадёт на $48$. Сделка состоится. 2) При таком способе оплаты без заключения сделки доход топ-менеджера составлял бы $I = 0,2*35 = 7$. При заключении сделки $I = 0,2 \pi_1 + 0,5 (\pi_2 - 14)$. В результате получаем, что оптимальное значение $q_1$ снова равно $0$. Значит, $\pi_2$ вырастет на $(46 - 16 - 14) = 16$, $I$ вырастет на $(16 - 2,6) = 13,4$, а $\pi_1$ сократится на $(13 + 35 - 2,6) = 45,4$. Сделка состоится. 3) В этом случае при отсутствии сделки $I = 0,25 (35 -14) = 5,25$. Если же сделка состоится, $I = 0,25 (\pi_1 - \pi_2) + 0,5 (\pi_2 - 14)$. Проведя относительно объёмные преобразования, выясняем, что эта функция максимальна при q1=4. Соответственно, $I$ вырастет на $(11 - 5,25) = 5,75$, $\pi_2$ вырастет на $(28 - 7 - 14) = 7$, $\pi_1$ сократится на $(- 23 + 35 - 1,25) = 10,75$. Сделка состоится. 4) а) не зависит б) зависит в) зависит Итак, в ходе задачи мы выяснили, что ни один из рассмотренных способов не гарантирует акционерам, что менеджеры будут работать добросовестно. А первый способ вообще всегда неэффективен в этом смысле.