Денежная эмиссия и реакция профсоюза

★★★★★ ILE / iloveeconomics.ru

ВВП страны Z производится по технологии $Y(L)=16\sqrt{L}$, где $L$ (количество работающих жителей) а номинальная заработная плата $w$, устанавливаемая профсоюзом, равна 2 д.е. Кривая совокупного предложения $Y_s(P)$ выводится из максимизации прибыли: при каждом уровне цен $P$ предложение $Y_s(P)$ определяется так, как если бы вся экономика была бы конкурентной фирмой, закупающей труд по цене $w$ и продающей товар по цене $P$. Кривая совокупного спроса в стране $Z$ выводится из уравнения количественной теории денег $MV=PY$; при этом скорость обращения денег $V$ равна единице. Изначально денежная масса равна 100 д.е. Государство хотело бы напечатать для собственных нужд побольше денег; оно проводит эмиссию, увеличивая денежную массу на $\Delta M=100m$. Если напечатать мало, то можно недополучить часть возможных выгод, но если напечатать много, то можно спровоцировать высокую инфляцию, и напечатанные деньги будут обладать низкой покупательной способностью. В результате государство максимизирует величину $\Delta M/P_1$ — размер эмиссии в реальном выражении ($P_1$ — новый уровень цен). Профсоюз в стране Z имеет огромное влияние, и при любом повышении денежной массы на $100m$ номинальная зарплата будет проиндексирована не в $(1+m)$ раз, а больше: вместо прежнего уровня 2 д.е. она составит $2\cdot (1+m)^{\alpha}$, где $\alpha>1$ — «сила» профсоюза. На сколько процентов государству следует увеличить номинальное предложение денег? Как ваш ответ зависит от $\alpha$? Приведите экономическую интерпретацию знака этой зависимости.

Решение

Найдем совокупное предложение. «Фирма», которой является экономика, максимизирует прибыль — функцию $\pi(L)=P\cdot 16\sqrt{L}-wL$. Взяв производную, получаем \[\pi'= \frac{8P}{\sqrt{L}} -w.\] Если приравнять производную к нулю, получим \[\qquad L^\star= \frac{64P^2}{w^2},\] уравнение спроса на труд. Можно убедиться, что при $L=L^\star$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, то есть мы имеем максимум. $\textbf{Примечание.}$ Возможны и другие способы нахождения критической точки и проверки на максимум. Так, можно заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз относительно $\sqrt{L}$, воспользоваться условием $MRP_L=w$, а также найти знак второй производной и убедиться, что он отрицательный. Подставляя спрос на труд в производственную функцию, получаем уравнение AS: \[Y=128\frac{P}{w}.\] Воспользовавшись уравнением количественной теории денег с учетом $V=1$, получим кривую совокупного спроса: \[Y=\frac{M}{P}.\] Найдем равновесие на товарном рынке, приравняв AD и AS: \[128\frac{P}{w} = \frac{M}{P},\] откуда равновесный уровень цен \[P=\frac{\sqrt{w\cdot M}}{8\sqrt{2}}.\] Из условия следует, что после вмешательства $w=2\cdot(1+m)^\alpha$, а $M=100+100m$. С учетом этого можно уточнить целевую функцию государства: \[ \frac{\Delta M}{P_1}=\frac{100m}{\sqrt{w\cdot M}/(8\sqrt{2})}= \frac{100m\cdot 8\sqrt{2}}{\sqrt{2\cdot(1+m)^\alpha\cdot (100+100m)}}=\frac{80m}{(1+m)^{(\alpha+1)/2}}. \] Производная этого выражения по $m$ равна \[ \left(\frac{\Delta M}{P_1}\right)'=\frac{80\cdot (1+m)^{(\alpha+1)/2} - \frac{\alpha+1}{2}(1+m)^{(\alpha-1)/2} \cdot 80m }{(1+m)^{\alpha+1}}. \] Знаменатель этой дроби положительный, так что он не будет влиять на знак производной, то же можно сказать и про множитель 80 в числителе. После упрощения получаем, что производная равна нулю при \[ (1+m)^{(\alpha-1)/2} \left(1+\frac{1-\alpha}{2}m \right)=0. \] Первый множитель всюду положителен, так что он не будут влиять на знак производной. Поэтому производная равна нулю в точке \[m^\star = \frac{2}{\alpha-1},\] в которой она меняет знак с положительного на отрицательный (в силу $\alpha>1$). Таким образом, мы имеем максимум. Видно, что оптимальное для государства увеличение денежной массы убывает по $\alpha$. Почему это происходит? Чем больше сила профсоюза, тем сильнее растет номинальная зарплата, а значит, сильнее растут издержки фирм и сокращается совокупное предложение при том же уровне $m$. А значит, чем больше $\alpha$, тем сильнее при увеличении денежной массы будут расти цены. Учитывая этот эффект, государству не следует сильно повышать денежную массу, если $\alpha$ велико, поскольку оно максимизирует эмиссию в реальном выражении $\Delta M/P_1$.

Денежная эмиссия и реакция профсоюза

Похожие задачи