Добро пожаловать в рай!
Небольшое островное государство Исла Парадайз разделено на три региона: Сансет Вэлли, Риверсайд и Бриджпорт. В стране производятся только сети для ловли рыбы и паруса для кораблей. Кривая производственных возможностей (КПВ) Сансет Вэлли описывается уравнением $y_1 = 10 - x_1$, КПВ Риверсайда $y_2 = 10 - 0,5x_2$, КПВ Бриджпорта $y_3 = 20 - 2x_3$, где $x_i$ – сети для ловли рыбы, а $y_i$ – паруса для кораблей.
Подпункты
а)
($10$ баллов) Постройте суммарную КПВ Исла Парадайз.
б)
($10$ баллов) Известно, что жители Исла Парадайз всегда покупают сети и паруса в пропорции $2$ к $3$. Сколько сетей для ловли рыбы и парусов для кораблей будет производиться в каждом регионе?
в)
($10$ баллов) Предположим, что предпочтения жителей острова изменились. Теперь они покупают сети и паруса в пропорции $3$ к $2$. На сколько изменится суммарное производство сетей и парусов по сравнению с предыдущим пунктом?
Решение
а) Заметим, что альтернативные издержки производства $x$ в регионах следующие: в Сансет Вэлли – $AC_x = 1$; в Риверсайде – $AC_x = 0.5$; в Бриджпорте – $AC_x = 2$. Построим суммарную КПВ в соответствие с правилом, что альтернативные издержки возрастают с ростом производства. Значит (слева – направо) первый участок КПВ будет соответствовать Риверсайду, второй – Сансет Вэлли, третий – Бриджпорту. Можем записать в алгебраическом виде: $y = \begin{cases} 40 - 0.5x,& 0 \leqslant x \leqslant 20 \\ 50 - x,& 20 \leqslant x \leqslant 30 \\ 80 - 2x,& 30 \leqslant x \leqslant 40 \end{cases}$ б) Потребление $x$ и $y$ в пропорции $2$ к $3$ можно формализовать с помощью уравнения $3x = 2y$ или $y = 1.5 x$. Построим эту прямую на графике и найдем пересечение с КПВ. Видно, что пересечение соответствует точке $(20; 30)$, значит на острове Исла Парадайз производится $20$ сетей для ловли рыбы и $30$ парусов для кораблей. Осталось определить, сколько каждого товара прозводится в каждом регионе. Заметим, что точка $(20; 30)$ это точка излома, иначе говоря – это крайняя правая точка для участка КПВ, соответствующего региону Риверсайд, и крайняя левая точка для участка КПВ, соответствующего региону Сансет Вэлли. Значит все сети для ловли рыбы производятся Риверсайдом, а все паруса для кораблей – Сансет Вэлли и Бриджпортом (по $10$ парусов в каждом). Ответ: в Сансет Вэлли – $0$ сетей и $10$ парусов, в Риверсайде – $20$ сетей и $0$ парусов, в Бриджпорте – $0$ сетей и $10$ парусов. в) Потребление $x$ и $y$ в пропорции $3$ к $2$ можно формализовать уравнением $2x = 3y$ или $y = \dfrac{2}{3} x$. По аналогии с предыдущим пунктом построим эту прямую на графике и найдем пересечение с КПВ. Видно, что пересечение соответствует точке $(30; 20)$. Суммарно производится $50$ сетей и парусов, ровно как и в предыдущем пункте, поэтому ответ – суммарное производство не изменилось.