Творог и сыворотка
Фермерское хозяйство производит творог и, являясь единственным продавцом творога на местном рынке, получает от его продажи максимальную прибыль. Издержки производства задаются функцией $TC=0{,}2Q^2+10Q+300$, дневной спрос на творог — функцией $Q=400-4P$, где $Q$ — количество пачек творога (шт.), $P$ — цена одной пачки (ден. ед.).
Подпункты
а)
Определите дневной объем продаж и прибыль фермерского хозяйства.
б)
При производстве каждой пачки творога остается два литра сыворотки, которую в хозяйстве прежде утилизировали, а теперь решили также продавать. Спрос на сыворотку описывается функцией $Q_C=120-2P_C$ ($Q_C$ — количество сыворотки, литров, $P_C$ — цена за один литр, ден. ед.), сыворотку на местном рынке никто еще не продает, затратами на ее упаковку можно пренебречь. Определите, какое количество творога и сыворотки следует продавать, если хозяйство стремится получать максимальную прибыль. На сколько увеличится в этом случае прибыль по сравнению с пунктом а)?
Решение
$MC=0,4Q+10$ $MR=100-0,5Q$ $MC=MR\quad \Rightarrow Q=100, P=75, TR=7500,TC=3300, \pi =4200.$ б) Теперь при производстве каждой пачки творога можно получать доход не только от его продажи, но и от продажи двух литров сыворотки. То есть при прежних издержках доход возрастает. Иными словами производство каждой дополнительной пачки творога приносит не только предельный доход от продажи этой пачки, но и от продажи двух лит-ров сыворотки. А значит предельные издержки следует сравнивать уже с совокупным предельным доходом, получаемым от продажи и творога и сыворотки $MR_{total} =MR_{T} +MR_{C} $, где $MR_{T} =100-0,5Q_{T} $ - предельный доход от продажи творога (см. п.а), $MR_{C} =TR'_{C} $ предельный доход от продажи сыворотки. Однако, чтобы предельные доходы можно было складывать (геометрически происходит вертикальное сложение), нужно чтобы они были функциями одной переменной. Запишем функцию дохода от продажи сыворотки $TR_{C} =P_{C} \cdot Q_{C} =(60-0,5Q_{C} )\cdot Q_{C} $. Учитывая, что при производстве одной пачки творога получается два литра сыворотки, то есть $Q_{C} =2Q_{T} $ , произведем замену:$TR_{C} =(60-0,5\cdot 2Q_{T} )\cdot 2Q_{T} =120Q_{T} -2Q_{T}^{2} $ . Следовательно, $MR_{C} =120-4Q_{T} $. Теперь, когда и предельный доход от продажи творога и предельный доход от продажи сыворотки являются функциями от одной переменной, их можно сложить. Однако, следует помнить, что, фирма выбирает оптимальный объем производства из тех, при которых предельный доход положителен ($MR_{T} \ge 0,\; MR_{C} \ge 0$). Поэтому функция совокупного предельного до-хода выглядит следующим образом: $$MR_{total}=\begin{cases} 220-4.5Q_{T} , \ Q_{T} \leq 30\\ 100-0.5Q_{T} , \ 30 < Q_{T} \leq 200 \end{cases}.$$ То есть при продаже 30 пачек творога и меньше предельный доход от продажи как творога, так и сыворотки положителен, следовательно, есть смысл продавать оба продукта в размере объемов производства. При продаже более 30 пачек творога и до 200, предельный продукт от продажи сыворотки становится отрицательным, то есть продажа каждого дополнительного литра уменьшает совокупный доход, и значит, в объеме производства следует продавать только творог, а сыворотку – только в том объеме, который максимизирует выручку ($MR_{C} =0$ при $Q_{C} =60$), а остальное утилизировать как и ранее. Остается только выяснить оптимальный объем производства из условия равенства предельных до-ходов и предельных издержек $MR_{total} =MC$. Функция издержек ввиду того, что затратами на упаковку сыворотки можно пренебречь, остается прежней (пункт а), не меняются и предельные издержки (пункт а). Решая уравнение, получаем: $Q_{T} =100,\; P_{T} =75$, то есть оптимальный объем продаж творога больше 30 пачек, а значит, следует продавать сыворотку в количестве, максимизирующем выручку, то есть $ Q_{C} =60\; P_{C} =30\; TR=9300\; TC=3300\; \pi =6000\; \Delta \pi =1800$. То же самое решение можно получить, аккуратно записав функцию прибыли, произведя, как сделано выше, замену переменных в доходе от продажи сыворотки. Только дифференцируя затем функцию прибыли, нужно не забыть проверить предельные доходы на положительность. Иначе ответ будет не верный. Ответ: а) 100 пачек творога, прибыль 4200 ден. ед. б) продавать нужно 100 пачек творога и 60 литров сыворотки. Прибыль возрастет на 1800 ден. ед.