Три мушкетера
Вернувшись во Францию, мушкетеры Атос, Портос и Арамис решили зайти в трактир «Красная голубятня», чтобы выпить несколько чарок анжуйского напитка. Функции спроса мушкетеров таковы: у Атоса $Q_{d}^{1}(p)=27-p$ , у Портоса $Q_{d}^{2}(p)=45-3p$ и у Арамиса $Q_{d}^{2}(p)=20-2p$, где Q –– количество чарок (будем считать, что чарка может быть заполнена на любую часть по желанию клиента), а P –– цена одной чарки в серебряных монетах. Трактирщик Годо знает функции спроса мушкетеров, а других клиентов у него нет. При этом он может работать один, и тогда функция его издержек имеет вид $TC_{1}(Q)=Q^{2}+3Q+4$. Кроме того, он может привлечь к работе своего помощника, и тогда их совместная функция издержек станет равна $TC_{2}(Q)=\dfrac{1}{11}Q^{2}+3Q+35$, но прибыль придется поделить пополам. Сделка устроена следующим образом: сначала Годо выбирает режим работы и назначает цену за чарку (единую для всех покупателей), а затем каждый из мушкетеров говорит, сколько чарок он готов по этой цене купить. Угощать друзей напитками почему-то не принято. Какую цену назначит трактирщик?
Решение
Выведем функцию общего спроса на напиток: \[Q^d(P)=\begin{cases} 0, & \text{при } P \ge 27; \\ 27 − P, & \text{при } 15 \le P < 27; \\ 72 − 4P, & \text{при } 10 \le P < 15; \\ 92 − 6P, & \text{при } 0 \le P < 10.\end{cases}\] Найдем максимальную прибыль трактирщика с привлечением помощника и без него. Сначала рассмотрим случай без помощника. Выведем $MR$ и $MC$. \[MR(Q)=\begin{cases} 27 − 2Q, & \text{если } 0 \le Q < 12; \\ 18 − \frac{1}{2}Q, & \text{если } 12 \le Q < 32; \\ \frac{46}{3} − \frac{1}{3}Q, & \text{если } 32 \le Q < 92.\end{cases}\] $TC(Q) = Q^2 + 3Q + 4 \Rightarrow MC(Q) = 2Q + 3$ Найдем все подозрительные на максимум прибыли точки, рассмотрев отдельно участки, на которых $MR$ линейна. Заметим, что на каждом линейном участке $MC(Q)$ — возрастающая функция, $MR(Q)$ — убывающая. Значит, точка $Q^*$, такая, что $MR(Q^*) = MC(Q^*)$, является точкой максимума прибыли. 1-й участок: $0 \le Q < 12$ Имеем: $27 − 2Q = 2Q + 3 \Rightarrow Q = 6$. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу. Тогда $P^* = 21$, а прибыль равна $\pi_1(6) = TR − TC = 21\cdot6 − 36 − 18 − 4 = 68$. 2-й участок: $12 \le Q < 32$ $18 − \frac{1}{2}Q = 2Q + 3 \Rightarrow Q = 6$. Эта точка не входит в рассматриваемый интервал. Тогда максимум будет в ближайшей к 6 точке из допустимого интервала: $Q^* = 12 \Rightarrow \pi_1(12) = −4 < 0$. 3-й участок: $32 \le Q < 92$ \frac{46}{3} − \frac{1}{3}Q = 2Q + 3 \Rightarrow Q = \frac{37}{7}. Эта точка не входит в рассматриваемый интервал. Тогда максимум будет в ближайшей к точке $\frac{37}{7}$ точке из допустимого интервала: $Q^* = 32 \Rightarrow \pi_1(32) < 0$. Аналогично рассмотрим случай, когда трактирщик нанимает помощника. Тогда $MC(Q) = \frac{2}{11}Q + 3$. Рассмотрим отдельно участки, на которых $MR$ линейна. 1-й участок: $0 \le Q < 12$ $27−2Q = \frac{2}{11}Q + 3 \Rightarrow Q = 11$ — точка лежит на интервале. Следовательно, $P^∗ = 16$, а прибыль трактирщика равна $\pi_2(11) = \frac{97}{2}= 48.5$. 2-й участок: $12 \le Q < 32$ $18 − \frac{1}{2}Q = \frac{2}{11}Q + 3 \Rightarrow Q^* = 22$ — точка лежит на интервале. Следовательно, $P^* = 12.5$, а прибыль равна: $\pi_2(12.5) = \frac{130}{2} = 65$. 3-й участок: $32 \le Q < 92$ $\frac{46}{3} − \frac{1}{3}Q = \frac{2}{11}Q + 3 \Rightarrow Q = \frac{407}{17}$ — точка не входит в интервал. Тогда максимум достигается в ближайшей к точке $\frac{407}{17}$ из допустимого интервала: $Q^* = 32 \Rightarrow \pi_2(32) < 0$. Теперь из всех возможных случаев выбираем случай с наибольшей прибылью, равной 68. В этом случае $P = 21$.