Отдача и средний продукт
Рассмотрим фирму, технология которой описывается производственной функцией $q(x_1,x_2,...,x_n)$, где $x_i$ — фактор производства с номером $i$ ($1\leqslant i\leqslant n$). Известно, что технология обладает возрастающим средним продуктом по каждому фактору.
Подпункты
а)
Предположим, производство использует единственный фактор ($n=1$). Покажите, что в этом случае технология обладает положительной отдачей от масштаба.
б)
Предположим, фирма использует два фактора ($n=2$). Верно ли, что технология обязательно обладает положительной отдачей от масштаба? Ответ обоснуйте.
в)
Обобщите результат пункта (б) на случай $n\geqslant1$ факторов.
г)
Докажите, что при пропорциональном увеличении всех факторов в $t > 1$ раз выпуск растёт строго больше, чем в $t^n$ раз.
Решение
Если средний продукт $AP(x) = q(x)/x$ возрастает по $x$, то верно неравенство $$ \frac{q(tx)}{tx} > \frac{q(x)}{x}, \quad \forall t > 1. $$ Умножаем на $tx$: $$ q(tx) > t \cdot q(x). $$ Это и есть определение положительной отдачи от масштаба. б) Если средние продукты $AP_{x_1}=q(x_1,x_2)/x_1$ растет по $x_1$, то верно неравенство: $$ \frac{q(t x_1, x_2)}{t x_1} > \frac{q(x_1, x_2)}{x_1}, \quad \forall t>1. $$ $$ q(t x_1, x_2) > t \cdot q(x_1, x_2). \quad (1) $$ Из неубавания производственной функции следует: $$ q(tx_1, tx_2) \geqslant q(tx_1, x_2). \quad (2) $$ Откуда из неравенств (1) и (2) получаем: $$ q(tx_1, tx_2) \geqslant q(tx_1, x_2) > tq(x_1,x_2). $$ или $$ q(tx_1, tx_2) > tq(x_1,x_2). $$ что свидетельствует о возрастающей отдаче от масштаба. в) Рассмотрим $n$ факторную модель, в которой средний продукт, в том числе, по первому фактору растет: $$ \frac{q(tx_1, x_2, \dots, x_n)}{t x_1} > \frac{q(x_1,x_2, \dots, x_n)}{x_1}. $$ или $$ q(tx_1, x_2, \dots, x_n) > tq(x_1,x_2, \dots, x_n) $$ Учитывая неубывание производственной функции: $$ q(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) \geqslant q(tx_1, x_2, \dots, x_n) > tq(x_1,x_2, \dots, x_n) $$ Откуда получаем неравенство $$q(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) > tq(x_1,x_2, \dots, x_n)$$, свидетельствующее о возрастании отдачи от масштаба. г) Докажем более сильное неравенство: Запишем условие возрастания среднего продукта по каждому фактору: $$ \frac{q(x_1, \dots, tx_i, \dots, x_n)}{tx_i} > \frac{q(x_1, \dots, x_n)}{x_i} $$ что эквивалентно: $$ q(x_1, \dots, tx_i, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1, \dots, x_n) $$ Будем последовательно увеличивать величину используемого фактора в $t>1$, начиная с 1 и заканчивая $n$-ым фактором. Шаг 1: Увеличиваем $x_1$ в $t$ раз: $$ q(tx_1, x_2, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1, x_2, \dots, x_n) $$ Шаг 2: Увеличиваем $x_2$ в $t$ раз (уже при увеличенном $x_1$): $$ q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot q(tx_1, x_2, x_3, \dots, x_n) $$ Но $q(tx_1, x_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)$ из шага 1, поэтому: $$ q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot (t \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)) = t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n) $$ Шаг 3: Увеличиваем $x_3$ в $t$ раз: $$ q(tx_1, tx_2, tx_3, x_4, \dots, x_n) > t \cdot q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) $$ Но $q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)$ из шага 2, поэтому: $$ q(tx_1, tx_2, tx_3, x_4, \dots, x_n) > t \cdot (t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)) = t^3 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n) $$ Продолжая процесс, на шаге $k$: $$ q(tx_1, \dots, tx_k, x_{k+1}, \dots, x_n) > t^k \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n) $$ На шаге $n$ (последний фактор) имеем неравенство: $$ q(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) > t^n \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n) $$ Что и требовалось доказать. Ответ: на доказательство