Задача 2 ОЧ-2016 (11 класс)
В стране R. есть налоговая инспекция, а есть предприниматель, который получил прибыль в размере 25 тугриков. Согласно законодательству, он должен уплатить налог в размере 20 процентов от прибыли. Предприниматель хочет достичь как можно большего уровня счастья. Его функция счастья зависит от того, сколько денег он получил, и выражается следующей функцией: $H = \ln(1 + Y_D)$, где $H$ – размер счастья, а $Y_D$ – его доход в тугриках после уплаты налогов и штрафов. Предприниматель не хочет платить столь большой налог. Это несправедливо, считает он. Он хочет поступить «умнее»: скрыть от налоговых органов часть своей прибыли, т.е. задекларировать меньший доход и с него заплатить положенные 20 процентов налога. Налоговая инспекция может проверить его деятельность, и тогда точно будет выявлен обман. Согласно законодательству, предприниматель будет должен не только полностью уплатить налог, но и за каждый неуплаченный тугрик налога выплатить штраф 3 тугрика.
Подпункты
а)
Налоговая инспекция может проверить предпринимателя с вероятностью $p = 0,2$, $p \in [0; 1]$. Предприниматель максимизирует математическое ожидание своего счастья. Помогите предпринимателю выбрать оптимальное значение декларируемой прибыли. Примечание: математическим ожиданием случайной величины мы называем сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности: $M(H) = \sum p_iH_i$, где $H_i$ — значения счастья, а $p_i$ – вероятность получения данного значения счастья.
б)
Так получилось, что налоговая инспекция провела проверку нескольких предпринимателей, и в СМИ попали цифры неуплаченных налогов. «Гнать их в шею – этих предпринимателей надо. Отобрать надо у них все предприятия, фирмы и заводы и сделать общими. Надо, чтобы прибыль доставалась народу, а не буржуям. Если все фирмы будут государственными, всем станет лучше», — рассуждает дворник Василий. Как называется передача из частной собственности в собственность государства крупных предприятий? Согласны ли вы с позицией Василия, что всем действительно будет лучше от таких мероприятий?
Решение
1. Пусть $Y$ – доход, а $S$ – величина, которую предприниматель скрыл. Тогда если налоговая его не проверит, то его счастье будет равно: $H_1 = ln(1 + 0,8(Y − S) + S) = ln(1 + 0,8Y + 0,2S)$ Если же он будет проверен, то его счастье будет таким: $H_2 = ln(1 + 0,8(Y − S) + S − 0,2S − 0,2 \cdot 3S) = ln(1 + 0,8Y − 0,6S)$ Предприниматель максимизирует ожидаемое счастье. Тогда: $M(H) = 0,8 \cdot H_1 + 0,2 \cdot H_2 = 0,8 \cdot ln(1 + 0,8Y + 0,2S) + 0,2 \cdot ln(1 + 0,8Y − 0,6S)$ Возьмем производную по $S$: $$\begin{array}{c}M′(H) = \dfrac{0,8 \cdot 0,2}{1 + 0,8Y + 0,2S} + \dfrac{0,2 \cdot (−0,6)}{1 + 0,8Y − 0,6S} = 0\\ \dfrac{4}{1 + 0,8Y + 0,2S} = \dfrac{3}{1 + 0,8Y − 0,6S}\\ 4 + 3,2Y − 2,4S = 3 + 2,4Y = 0,6S\\ 3S = 1 + 0,8Y\\ S =\dfrac{1 + 0,8Y}{3}\end{array}$$ Обоснование максимума: Если мы возьмем функцию $Z = e^{M(H)}$, то функция $Z$ будет парабола с ветвями вниз и максимумом в вершине. А максимуму функции $M(H)$ соответствует максимум функции $e^{M(H)}$ Подставляем сюда значение дохода: $S^* = 7$ Таким образом, оптимально скрыть 7 единиц; значит, задекларирует он (25 − 7) = 18 тугриков . 2. Национализация. Не следует с ним соглашаться. Предприниматели создают новые фирмы, организуют рабочие места. Когда компания находится в частном ведении, то она эффективно использует ресурсы. Если произвести национализацию, то компании теряют стимулы эффективно использовать свои ресурсы, могут стать убыточными и закрыться. Поэтому могут возникнуть проблемы – увеличение безработицы, уменьшение зарплат.