Олимпиада четырёх городов
На некоторой плоскости есть четыре города, расположенные в вершинах выпуклого четырехугольника $ABCD$. Города впервые в истории решают провести между собой спортивное соревнование — Весеннюю Олимпиаду. Поскольку ни один из городов изначально не обладает необходимой для Олимпиады инфраструктурой, на то, чтобы быть местом ее проведения, претендует любая точка плоскости (в том числе, и сами города). Каждый город хотел бы, чтобы Олимпиада прошла как можно ближе к нему.
- а)Будем называть точку проведения Олимпиады общественно оптимальной в случае, если сумма расстояний от нее до городов минимальна. Найдите эту общественно оптимальную точку и обоснуйте свой выбор.
- б)Представим себе ситуацию, при которой на голосование городов были бы вынесены две альтернативы: провести Олимпиаду в точке $X$ или провести ее в точке $Y$ (точки $X$ и $Y$ не совпадают). Будем говорить, что точка $X$ побеждает точку $Y$, если при таком голосовании как минимум три города из четырёх голосовали бы за $X$. Найдите множество точек $P$ на данной плоскости, таких, что точку $P$ не побеждает ни одна другая точка, отличная от $P$. Являются ли эти точки общественно оптимальными?