Хаусхолдия-2
(Немного более общая задача, чем http://iloveeconomics.ru/zadachi/z1963 ) В стране Хаусхолдии есть $n$ домохозяйств с одинаковыми доходами $k$. Страна живет два периода, и домохозяйства имеют такую функцию полезности: $U_i=\ln(a_i)+D_i\ln(b_i)$, где $a_i$ и $b_i$ - потребление i-ого домохозяйства в первый и второй периоды соответственно, а $D_i=\frac{n-i+1}{n}$. Все свои доходы домохозяйства тратят либо на потребление, либо на предоставление кредита другим домохозяйствам, либо на выплату уже взятого кредита. Определить ставку процента $r$ в Хаусхолдии.
Решение
Пусть $C_i\in \mathbb{R}$ - сумма, взятая в долг $i$-тым домохозяйством, если она положительна, или сумма, данная в долг, если она отрицательна. Тогда $\forall i: U_i=ln(k+C_i)+D_iln(k-(1+r)C_i)\rightarrow \underset{C_i\in \mathbb {R}}{max}$ Необходимое условие максимума: $ \forall i=\left \{ 1,2,...,n \right \}: U'_{C_i}=\frac{1}{k+C_i}-\frac{D_i(1+r)}{k-(1+r)C_i}=0 $ (вторая производная отрицательна, поверьте). $$\Rightarrow C_i^*=\frac{k-k(1+r)D_i}{(1+r)(1+D_i)}$$ Кредиты по условию существуют в замкнутой системе. Иными словами, в равновесии не иначе как $\sum_{i=1}^{n}C_i^*=0$ $$\sum_{i=1}^{n}C_i=\frac{k}{1+r}\sum_{i=1}^{n}\frac{(1-(1+r)D_i)}{1+D_i}=\frac{k}{1+r}\left(\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{1+D_i})-(1+r)\sum_{i=1}^{n}(\frac{D_i}{1+D_i})\right)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{1+D_i})=(1+r)\sum_{i=1}^{n}(\frac{D_i}{1+D_i})$$ откуда откуда с учётом $D_i=\frac{n-i+1}{n}$ получаем Ответ: $$r=n\frac {\sum_{i=1}^{n} (\frac {1}{2n-i+1})}{\sum_{i=1}^{n} (\frac {n-i+1}{2n-i+1})}-1$$