Жульен из мухоморов
В Царстве лесных гномов ни одно праздничное застолье не обходится без жульена из мухоморов, который можно купить только в тавернах, где его готовят специально обученные повара по старинным рецептам, которые держатся в строжайшем секрете. Таверны работают в условиях рынка совершенной конкуренции, спрос и предложение на котором представлены линейными функциями. Король гномов Урфин IV, фанатичный сторонник здорового образа жизни, решил ограничить потребление населением этих грибов, полагая, что такая традиция уже не первое столетие не лучшим образом сказывается на здоровье гномов. Не долго думая, он объявил, что, начиная с будущего понедельника, все продавцы мухоморового жульена должны будут платить налог по 3 ден. ед. за каждую проданную порцию. На следующий день к Урфину пришел его министр финансов, фанатичный противник госдолга, и сказал: Ваше Величество! Ваше решение, как всегда, гениально, однако в результате введения такого налога потребление сократится только лишь на 8 тыс. порций в месяц. Сейчас каждый месяц продается 28 тыс. порций по 5 ден. ед., а эластичность предложения в точке равновесия в 2 раза превышает эластичность спроса (по модулю). Я знаю, какой должна быть величина налога, чтобы еще больше сократить потребление и максимально увеличить доходы казны. И тогда мы, наконец, сможем вернуть весь наш долг эльфийскому королю! Какую величину фиксированного потоварного налога рекомендовал ввести министр финансов?
Решение
Утверждение: Если при линейных функциях спроса и предложения эластичность предложения в точке равновесия в 2 раза превышает эластичность спроса, то при введении фиксированного потоварного налога на продавцов цена поднимется на величину, равную 2/3Т (Т – величина налога). Доказательство: Если $|E_S|=2|E_D|$, то есть $|(∂Q_S)/∂P \cdot P^e/Q^e |=2 \cdot |(∂Q_D)/∂P \cdot P^e/Q^e |$, то угловой коэффициент функции предложения в 2 раза превышает угловой коэффициент функции спроса:$ Q_D=a-bP, Q_S=c+2bP.$ Тогда равновесная цена определяется как $P_0^e=(a-c)/3b.$ Если вводится налог в размере Т ден. ед., уплачиваемый производителями, то $Q_D=a-bP, Q_S=c+2b(P-T) \ и \ P_1^e=(a-c)/3b+2/3 T=P_0^e+2/3 T.$ Следовательно, при Т=3 новая цена равна 7 ден. ед., а новое равновесное количество 20 тыс. порций (см. рис.) Теперь, зная координаты двух точек на линейной функции спроса, можем определить ее вид: $Q_D=48-4P.$ Угловой коэффициент функции предложения равен 8, и координат исходной точки равновесия достаточно, чтобы определить вид функции $S_0: Q_S=-12+8P.$ Теперь не трудно определить величину налога, максимизирующего налоговые сборы. Пусть величина потоварного налога равна Т ден. ед. Тогда $Q_S=-12+8(P-T)$, функция спроса не меняется, а равновесное количество определяется Q^e=28-8/3 T. Максимизируем функцию налоговых поступлений: $TQ^e=28T-8/3 T^2→max!$ $28-16/3 T=0 →T=5,25$ Ответ: T=5,25 ден. ед.