Товар Х
Спрос на товар Х и его предложение заданы, соответственно, уравнениями $Q=400-4P$ и $Q=4P-80$, где $Q$ - количество единиц товара (в штуках), $P$ - цена одной единицы товара (в рублях). Правительство вводит потоварный налог с производителей в виде фиксированной суммы за каждую проданную единицу продукции, причем размер налога выбирается таким образом, чтобы поступления в государственный бюджет в результате его введения были максимальными. Определите равновесную цену, которую придется платить потребителям за каждую единицу товара после введения этого налога.
Решение
Функция предложения с учетом налога имеет вид: $Q=4(P-t)-80$ (1 балл) Обратные функции спроса и предложения можно записать следующим образом: $$\begin{array}{l} P=100-0,25Q \\ P=20+0,25Q+t \end{array}$$ Приравняв их друг к другу, находим равновесное количество товара, как функцию от ставки налога: $Q^*=160-2t$ (3 балла) Суммарные поступления в государственный бюджет равны: $tQ=160t-2t^2$. (1 балл) Это парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, в точке вершины этой параболы поступления в государственный бюджет максимальны. (1 балл за это рассуждение. Если точка ищется с использованием производной, то также должно быть показано, что это точка максимума). Найдя вершину, получаем: $t^*=40$ (1 балл) Теперь можно получить соответствующее равновесное количество: $Q^*=160-2t^*=80$ После этого получаем искомую равновесную цену: $P^*=100-0,25\cdot 80$ (3 балла) Ответ: 80 рублей