Абсервант
Рассмотрим рынки товаров $X$ и $Y$, спрос на каждом из которых описывается функциями $X_d=100-P_x$ и $Y_d=100-P_y$. Фирма "Абсервант" является монополистом на рынке товара $X$ и совершенным конкурентом на рынке $Y$, где конкурентное окружение имеет суммарную функцию предложения $Y_s=P_y$. Известно, что для производства $X$ и $Y$ необхимы ресурсы альфа и бета. Так, для производства одной единицы икса необходима 1 единица альфы и 2 единицы беты, а для производства одного игрека 2 единицы альфы и одна единица беты. "Абсервант" закупает необходимые ресурсы на монопсонистическом рынке факторов производства, функции предложения на каждом из которых описываются уравнениями $P^{supply}_\alpha=\alpha$ и $P^{supply}_\beta=\beta$. Определите параметры рыночного равновесия на двух рынках готовой продукции.
Решение
Исходя из пропорций производства, чтобы произвести $x$ единиц товара $X$ и $y$ товара $Y$ необходимо закупить $\alpha=x+2y$ и $\beta=2x+y$ едениц альфа и бета соответственно, тогда целевая функция прибыли представима зависимостью: $$\Pi(x,y)=TR_x(x)+TR_y(P_y, y)-TC_{\alpha}(\alpha(x,y))-TC_{\beta}(\beta(x,y))$$ $$\Pi(x,y)=P_x(x)x+P_y\cdot y-P_{\alpha}(\alpha(x,y))\cdot\alpha(x,y)-P_{\beta}(\beta(x,y))\cdot\beta(x,y)$$ $$\Pi(x,y)=(100-x)x+P_y\cdot y-(x+2y)^2-(2x+y)^2 \rightarrow \max\limits_{x,y\geq0}$$ Максимизируем $\Pi(x,y)$ по переменной $y$ при фиксированном $x$: $$\Pi^{\prime}_y=P_y-4(x+2y)-2(2x+y)=0 \textit{ (достаточное условие: } \forall y\geq0: \Pi^{\prime\prime}_{yy}=-10<0)$$ откуда находим оптимальное значение $y^*$ для различных пар $(x,P_y)$: $$ y^*= \begin{cases} (P_y-8x)/10, & x \leqslant P_y/8 \\ 0, &x > P_y/8 \end{cases} $$ $$\Pi(x,y^*(x))=(100-x)x+P_y\cdot\bigg(\frac{P_y-8x}{10}\bigg)-\bigg(x+\frac{P_y-8x}{10}\bigg)^2-\bigg(2x+\frac{P_y-8x}{10}\bigg)^2 \rightarrow \max\limits_{x\geq0}$$ $$\bigg[\Pi(x,y^*(x))\bigg]^\prime_x=100-2x-\frac{8P_y}{10}+1.2\bigg(x+\frac{P_y-8x}{5}\bigg)-2.4\bigg(2x+\frac{P_y-8x}{10}\bigg)=0$$ $$\textit{ достаточное условие: } \forall y\geq0:\bigg[\Pi(x,y^*(x))\bigg]^{\prime\prime}_{xx}=-5.28<0$$ С учетом неотрицательности переменных и $y^*$: $$ x^*(P_y)= \begin{cases} \tilde{x} |_{y=0} &, 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ (125-P_y)/7 &, 66\frac{2}{3} \leqslant P_y\leqslant 125 \\ 0 &, P_y>125 \end{cases} $$ Поиск $\tilde{x}$: $$\Pi(x)|_{y=0}=(100-x)x-5x^2 \rightarrow \max\limits_{x\geq0}$$ $$[\Pi(x)]^\prime_x=100-2x-10x=0 \Rightarrow \tilde{x}=8\frac{1}{3} $$ $$\textit{достаточное условие: } \forall x\geq0: \Pi(x,y=0)^{\prime\prime}_{x}=-10<0$$ А значит $$ x^*(P_y)= \begin{cases} 8\frac{1}{3} &, 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ (125-P_y)/7 & 66\frac{2}{3} \leqslant P_y\leqslant 125 \\ 0 &, P_y>125 \end{cases} $$ $$ y^*(P_y)= \begin{cases} 0 &, 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ \frac{3}{14}P_y-\frac{100}{7} &, 66\frac{2}{3} \leqslant P_y\leqslant 125 \\ P_y/10 &, P_y>125 \end{cases} $$ Октуда с учетом предложения конкурентного окружения $Y_s=P_y$ находим отраслевое предложение на рынке товара $Y$: $$ Y^{отр}_s(P_y)= \begin{cases} P_y &, 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ \frac{17}{14}P_y-\frac{100}{7} & 66\frac{2}{3} \leqslant P_y\leqslant 125 \\ \frac{11}{10}P_y &, P_y>125 \end{cases} $$ Поиск равновесия на рынке товара $Y$: $Y^{\text{отр}}_s(P_y)=Y_d(P_y) \Rightarrow Y^e=P_y^e=50.$ Используя найденные значения, находим параметры равновесия производителя относительно рынка товара $X$: $(x^e,P_x^e)=(8\frac{1}{3},91\frac{2}{3})$. Ответ: $(Y^e,y^e,P_y^e,x^e,P_x^e)=(50,0,50,8\frac{1}{3},91\frac{2}{3})$, где $y^e$ - равновесный выпуск игрека фирмой "Абсервант".