Распределение налогового бремени

Рассмотрим рынок совершенной конкуренции, где функции спроса и предложения имеют постоянную единичную эластичность по цене. Запишем их в виде: $$ Q_d(p) = \frac{A}{p}, Q_s(p) = Bp, $$ где $ A $ и $ B $ — положительные константы, а $ p $ — цена. Условие равновесия $ Q_d = Q_s $: $$ \frac{A}{p} = Bp, p^2 = \frac{A}{B}, p^* = \sqrt{\frac{A}{B}} $$ При введении налога по ставке $ t $ цена для производителей становится $ p_s = p_d - t $. Новое условие равновесия: $$ \frac{A}{p_d} = B(p_d - t) $$ Решаем квадратное уравнение относительно $ p_d $: $$ A = B p_d (p_d - t), B p_d^2 - B t p_d - A = 0. $$ Его решение: $$ p_d = \frac{t + \sqrt{t^2 + 4 \frac{A}{B}}}{2} $$ Цена производителя: $$ p_s = p_d - t = \frac{-t + \sqrt{t^2 + 4 \frac{A}{B}}}{2} $$ Налоговое бремя покупателей: $$ t_d = p_d - p^* = \frac{t + \sqrt{t^2 + 4 \frac{A}{B}}}{2} - \sqrt{\frac{A}{B}} $$ Налоговое бремя производителей: $$ t_s = p^* - p_s = \sqrt{\frac{A}{B}} - \frac{-t + \sqrt{t^2 + 4 \frac{A}{B}}}{2} $$ Положим $A/B=C$ и рассмотрим отношение $t_d/t$: $$ \frac{t_d}{t} = \frac{t + \sqrt{t^2 + 4C}}{2t} - \frac{\sqrt{C}}{t} $$ $$ \frac{t_d}{t} = \frac{t + \sqrt{t^2 + 4C}}{2t} - \frac{\sqrt{C}}{t} $$ Введем функцию: $$ f(t) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{t^2 + 4C}}{2t} - \frac{\sqrt{C}}{t} $$ Найдем производную: $$ f'(t) = \left( \frac{\sqrt{t^2 + 4C}}{2t} \right)' - \left( \frac{\sqrt{C}}{t} \right)' $$ $$ = \frac{\frac{t}{\sqrt{t^2 + 4C}} \cdot 2t - \sqrt{t^2 + 4C} \cdot 2}{4t^2} + \frac{\sqrt{C}}{t^2} = $$ $$ = \frac{-8C}{4t^2\sqrt{t^2 + 4C}} + \frac{\sqrt{C}}{t^2} = $$ $$ = \frac{\sqrt{t^2C + 4C^2} - 2C}{t^2\sqrt{t^2 + 4C}} $$ Заметим, что для любых $t>0$ выполняется $\sqrt{t^2C + 4C^2} > 2C$ и $t^2(t^2+4C)>0$ , а значит $f'(t)>0$. Таким образом, с ростом ставки налоговое бремя всё больше смещается на покупателей.