"Ломаный" спрос: эластичность и точка излома
На рынке две группы потребителей, функции спроса которых линейны. Известно, что при ценах $4$ и $12$ суммы общей выручки, которую получают производители на данном рынке, одинаковы. Кроме того, в этих точках одинаковы и равны $(-1,5)$ коэффициенты эластичности рыночного спроса по цене. Найдите цену в точке излома кривой рыночного спроса.
Решение
В двух точках, лежащих на одном отрезке, коэффициенты эластичности не могут быть одинаковы (чем больше цена, тем больше эластичность линейной функции спроса), поэтому точки $P = 12$ и $P = 4$ лежат на разных участках ломаной кривой рыночного спроса. При цене $12$ спрос формирует только группа потребителей с более высокой максимальной ценой спроса (назовем ее первой), при цене $4$ – обе группы. Пусть $Q = a - bP$ - спрос первой группы,$Q = c - dP$ - спрос второй, $Q_0$ - объем рыночного спроса при $P = 12$, $Q_1$ - объем рыночного спроса при $P = 4$. Тогда очевидно, что искомая цена в точке излома графика рыночного спроса - это не что иное, как максимальная цена спроса второй группы, то есть $\frac{c}{d}$. $Q = (a + c) - (b + d)P$ - уравнение рыночного спроса при $P < \frac{c}{d}$. Тогда по условию: $\frac{{(b + d)4}} {{Q_1 }} = 1,5;{\text{ }}\frac{{12b}} {{Q_0 }} = 1,5$; $4Q_1 = 12Q_0 \Rightarrow Q_1 = 3Q_0 $; $4(b + d) = 1,5Q_1 = 4,5Q_0 = 36b \Rightarrow d = 8b $; Так как суммы общей выручки при $P = 12$ и $P = 4$ равны, то $4(a + c - 36b) = 12(a - 12b) \Rightarrow a + c - 36b = 3a - 36b \Rightarrow c = 2a$. Подставляя $b = \frac{d}{8}$ и $a = \frac{c}{2}$ в формулу расчета коэффициента эластичности спроса при $P = 4$, после преобразований получим: $ \frac{{(9/8)d \cdot 4}}{{1,5c - (9/8)d \cdot 4}} = 1,5 \Rightarrow \frac{9}{{3(c/d) - 9}} = 1,5 \Rightarrow \frac{c}{d} = 5$. Ответ: $5$.