Ноттингем-1
Ноттингем, XII век. В городе есть две группы жителей: бедные и богатые. Счастье любого человека в городе можно рассчитать по формуле $H=Y-x^2/2$, где $H$ — счастье человека, $Y$ — его доход (с учетом перераспределительной политики, о политике см. ниже), а $x$ — уровень усилий, который человек прикладывает для получения этого дохода. Вся разница между бедными и богатыми заключается в том, что, приложив уровень усилий $x$, бедный человек зарабатывает $V \times x$ ден. ед., а богатый — $W \times x$ ден. ед., где $W>V$. В каждой группе ровно по $N$ человек. Каждый агент выбирает свой уровень усилий так, чтобы его счастье было максимальным. Свергнув Принца Джона, к власти в городе пришел Робин Гуд. Естественно, он решил отбирать у богатых долю $t$ дохода, и затем всю сумму сборов передавать бедным. Агенты выбирают уровни усилий, зная о проводимой Робином политике. (12 баллов) Рассчитайте суммарный уровень дохода в обществе после введения налога. Покажите, что суммарный уровень дохода сокращается с ростом ставки налога, несмотря на то, что сумма, которую уплачивают богатые, в точности равна сумме, которую получают бедные. Объясните данный парадокс. (8 баллов) Пусть $V=\sqrt{2}$, $W=3$. Какую ставку налога установит Робин Гуд, стремясь к минимальному неравенству доходов, то есть минимизируя коэффициент Джини? На сколько ден. ед. уменьшится суммарный доход в результате проведения такой политики?
Решение
а) Найдем, какие уровни усилий выберут богатые и бедные. Обозначим эти уровни усилий за $x_r$ и $x_p$ и (от rich и poor). Богатый агент решает задачу $$(1-t)Wx_r-\frac{x_r^2}{2} \rightarrow max,$$ откуда в оптимуме $x_r=(1-t)W.$ Бедный агент (зная о том, что ему достанется трансферт), решает задачу $$Vx_p-\frac{x_p^2}{2}+tWx_r \rightarrow max$$ С точки зрения бедного агента, трансферт является константой (не зависит от его усилий) и поэтому оптимальный для бедного уровень усилий просто равен $V$. Значит, суммарный уровень дохода в обществе будет равен $$Y=N(Vx_p+tWx_r)+N(1-t)Wx_r=Vx_p +Wx_r=N(V^2+(1-t)W^2).$$ Очевидно, что функция $Y(t)=N(V^2+(1-t)W^2)$ является (строго) убывающей. Причина такого «парадоксального» эффекта заключается в том, что налог в данном случае является искажающим и плохо влияет на стимулы агентов: богатые агенты сокращают уровень усилий с ростом ставки налога. При этом неизбежно уменьшается размер «пирога», который затем делится между бедными и богатыми 1 . б) Если Робин сможет добиться ситуации, при которой после перераспределения у всех агентов доход будет одинаков, коэффициент Джини будет равен нулю, а значит, будет минимален. Найдем ставку налога, при которой доход богатого агента равен доходу бедного агента. Доход богатого равен: $$(1-t)Wx_r=(1-t)^{2}W^2$$ Доход бедного равен: $$Vx_p +tWx_r=V^2+t(1-t)W^2$$ Приравнивая эти две величины, получаем, что искомая ставка налога удовлетворяет уравнению: $$2t^2-3t+1=\frac{V^2}{W^2}=\frac{2}{9}$$ Решая это квадратное уравнение, получаем, что: $$t=\frac{3\pm \sqrt{9-4\cdot 2\cdot \frac{7}{9}}}{4}=\frac{3\pm\frac{5}{3}}{4}=\frac{1}{3};\frac{7}{6}$$ Нам подходит только корень $t=\frac{1}{3}$, так как ставка налога должна быть не больше единицы. Суммарный уровень дохода будет равен: $$N\left ( 2+\left ( 1-\frac{1}{3} \right )9 \right )=8N.$$ До перераспределения доход равнялся $11N$ . Значит, доход сократился на $3N$ ден. ед. Примечание: 1 Этот эффект был описан небезызвестным для участников олимпиады экономистом Артуром Оукеном в книге Equality and Efficiency: The Big Trade Off (Washington, Brookings, 1975). Оукен называл этот эффект «эффектом протекающего ведра» (“leaky bucket”): часть денег, взятых у богатых, не доходит до бедных, а «утекает» по дороге.