При чем здесь AVC?
Фирма «AVC» является совершенным конкурентом как на рынке конечного продукта, так и на рынке труда. Труд является для данной фирмы единственным переменным фактором производства. Производственная функция фирмы имеет вид $$Q=4+\sqrt[3]{L-64},$$ где $Q$ – объем выпускаемой продукции, $L$ – объем нанимаемого труда. На рынке конечного продукта установилась цена, равная 60. При каком максимальном значении зарплаты одного работника фирма останется на рынке в краткосрочном периоде?
Ответ
$w \le 5$.
Решение
Решение 1 (простое, не требует знания производной): Выведем функцию переменных издержек фирмы. Выражая $L$ из производственной функции, получаем $$L=(Q-4)^3+64=Q^3-12Q^2+48Q$$ Значит, $VC(Q)=wL=w(Q^3-12Q^2+48Q)$. Значит, функция средних переменных издержек фирмы имеет вид $AVC(Q)=wL=w(Q^2-12Q+48)=w((Q-6)^2+12)$. Средние переменные издержки достигают минимума, когда выражение в квадрате равно нулю. Значит, минимум $\AVC$ равен $12w$. Фирма останется на рынке, если цена не меньше, чем минимум средних переменных издержек, то есть если $12w \leq P=60$ . Отсюда $w\leq 5$. Название фирмы является намеком на этот простой метод решения. Решение 2 (громоздкое, требует знания производной и одного специального факта): Есть такой факт: фирма останется на рынке, если зарплата не больше, чем максимум среднего продукта труда в денежном выражении. Найдем этот максимум. $$ARP_L=\frac{PQ}{L}=60 \frac{4+\sqrt[3]{L-64}}{L}\rightarrow\max$$ Производная этого выражения равна: $$60 \frac{64-2L/3-4\sqrt[3]{(L-64)^2}}{L^2 \sqrt[3]{(L-64)^2}}$$ Обладая недюжинной интуицией, можно угадать корень этого выражения: $L=72$ . Производная в этой точке меняет знак с плюса на минус, значит это действительно точка максимума. Значит, максимальный средний продукт труда в денежном выражении равен $60 \frac{4+\sqrt[3]{72-64}}{72}=5$ Ответ: Фирма останется на рынке при $w\leq 5$. Примечание: Кроме того, задача показывает, из какой производственной функции может выводиться знакомая всем кубическая функция издержек.