Уклонение от налогов
XXII век. "Объединенная звездолетостроительная корпорация" производит гражданские звездолеты нового поколения. В 2117 году фирма произвела и продала 29 звездолетов, что являлось максимально возможным для нее объемом производства. В 2118 году инженеры нашли способ увеличить максимальный годовой объем производства на 1 звездолет; фирма воспользовалась этим способом, продав 30 звездолетов. В ходе аудита выяснилось, что себестоимость (средние издержки) производства одного звездолета выросла в 2118 году на 20 млн руб. по сравнению с 2117 годом. При этом функция издержек $TC(Q)$ была в 2117 и 2118 году одной и той же. Обратная функция спроса на звездолеты $P_d(Q)$ также не менялась, при этом известно, что она является нестрого убывающей. Фирма не осуществляет ценовую дискриминацию. В 2117 году компания отчиталась о чистой прибыли (до налогооболожения) в размере 14,9 млрд руб. Считая, что остальные данные верны, докажите, что фирма в отчете занизила уровень прибыли в 2117 году. Какую сумму, как минимум, недополучил бюджет в виде налога на прибыль в 2117 году, если ставка налога равна 20%? (Считайте, что количество звездолетов может быть только целым числом.)
Решение
Ключевая идея: поскольку фирма воспользовалась предложением инженеров и произвела 30-ый звездолет, $MR(30)\ge MC(30)$. Нам нужно из этого неравенства как-то получить неравенство на общую прибыль фирмы. Поэтому найдем, как в случае целочисленного выпуска связаны между собой величины, $P_d$ и $MR$, $MC$ и $AC$. $MR(Q)=TR(Q)-TR(Q-1)=QP_d(Q)-(Q-1)P_d(Q-1)=P_d(Q-1)-Q\cdot(P_d(Q-1)-P_d(Q))$. Аналогично получаем, что $MC(Q)=AC(Q-1)+Q\cdot(AC(Q)-AC(Q-1))$. Значит, неравенство $MR(30)\ge MC(30)$ перепишется как $$P_d(29)-30\cdot (P_d(29)-P_d(30))\ge AC(29)+30\cdot(AC(30)-AC(29)) $$ Или: $$P_d(29)-AC(29)\ge 30\cdot(P_d(29)-P_d(30)+AC(30)-AC(29)) $$ Значит, $$\pi(29)=29\cdot(P_d(29)-AC(29))\ge 29\cdot 30\cdot(P_d(29)-P_d(30)+AC(30)-AC(29)) $$ Величина $P_d(29)-P_d(30)$ является неотрицательной, так как функция спроса убывает; $AC(30)-AC(29)=0,02$ из условия. Окончательно получаем, что $$\pi(29)\ge 29\cdot 30\cdot 0,02=17,4$$ Поскольку фирма указала в отчете $\pi(29)=14,9 \lt17,4$, она занизила уровень прибыли. Граница $\pi(29)=17,4$ достигается, например, если $$TC(Q)= \begin{cases} a\cdot Q, & Q\le 29;\\ (a+0,6)\cdot(Q-29)+a\cdot 29, & Q\ge 30; \end{cases}$$ для некого $a>0$ и $P_d(Q)=a+0,6$ независимо от $Q$. В этом случае все данные из условия ($AC(30)-AC(29)=0,02$, оптимальные объёмы в 2117 и 2118 году равны 29 и 30 соответственно) выполнены, и при этом $\pi(29)=(a+0,6)\cdot 29-a\cdot 29=17,4$. Значит, минимальная недополученная сумма налога равна $(17,4-14,9)/5=0,5$ млрд. руб. (Налог на прибыль никак не влияет на максимизационную задачу фирмы, и поэтому выше мы его не вводили явно.) Ответ: 500 млн. руб. Альтернативное решение: вместо $MR(30)\ge MC(30)$ можно было записать эквивалентное условие $\pi(30)\ge \pi(29)$, и непосредственно работать с этим неравенством. На это второе решение никак не влияет целочисленность. Действительно, можно доказать, что если есть два выпуска $Q_1$ и $Q_2>Q_1$, не обязательно целые, но такие, что $\pi(Q_2)\ge \pi(Q_1)$, то $$ \frac{\pi (Q_1)}{Q_1}-\frac{1}{Q_2} \ge \frac{\pi (Q_1)}{Q_1}-\frac{\pi (Q_2)}{Q_2} \ge \frac{\frac{TC(Q_2)}{Q_2}-\frac{TC(Q_1)}{Q_1}}{.}$$ Или: $\pi(Q_1)\ge \frac{Q_1Q_2}{Q_2-Q_1}(AC(Q_2)-AC(Q_1))$