Время на задачки — 6 класс

ILE / iloveeconomics.ru

Александр, который параллельно пишет дипломную работу, на составление одной хорошей задачи для ВП тратит 5 часов, а Максим, который занят несколько меньше, — всего 3 часа. Максим и Александр работают в команде и стремятся распределить работу так, чтобы их суммарное время на составление задач для ВП было как можно меньше: всё остальное время каждый из них планирует составлять задания для Московской олимпиады школьников по экономике.

Подпункты

а)

Пусть Александру и Максиму необходимо составить 5 хороших задач для ВП. Сколько часов каждый из них потратит на составление задач?

б)

Пусть Александру и Максиму необходимо составить $Q$ хороших задач для ВП ($Q$ — количество задач, которые им нужно составить). Сколько часов каждый из них потратит на составление?

в)

Предположим, что олимпиада ВП уже очень скоро, и Александру с Максимом необходимо объединить усилия. Если они будут работать вместе и составят при этом 26 хороших задач, сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?

г)

Предположим, что Александр и Максим объединили усилия и работают вместе, но теперь им нужно составить $Q$ хороших задач для ВП. Сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?

д)

Предположим, что у Максима на составление задач для ВП имеется всего 21 час, а у Александра — 20 часов. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление 12 хороших задач для ВП?

е)

Предположим, что у Максима на составление задач имеется всего $M$ часов, а у Александра — $N$ часов. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление $Q$ хороших задач для ВП?

Решение

Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на $3$ часа, а если Александр, то на $5$ часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима = $15$ ч., время Александра = $0$ ч. Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на $3$ часа, а если Александр, то на $5$ часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима = $3Q$ ч., время Александра = $0$ ч. Производительность Александра ($AP_{Александра}$) =$1/5$ (задач/час); производительность Максима ($AP_{Максима}$)=$1/3$ (задач/час). Общая производительность при одновременной работе ($AP_{А+М}$)$=1/3+1/5=8/15$ (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками $= 26/(8/15)=390/8= 48,75$ ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное $48,75\cdot 2=97,5$ часов. Производительность Александра ($AP_{Александра}$) =$1/5$ (задач/час); производительность Максима ($AP_{Максима}$) = $1/3$ (задач/час); Общая производительность при одновременной работе ($AP_{А+М}$)$=1/3+1/5=8/15$ (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками $= Q/(8/15)=15Q/8$ ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное $15Q/8\cdot 2=15Q/4$ часов. Максим успеет сделать $21/3=7$ задач; Александр успеет сделать $20/5=4$ задачи, тогда суммарно они успеют сделать $7+4=11$ задач. Вывод: $11<12$, поэтому ребята не успеют сделать все $12$ задач. Максимально возможное количество задач $Q_{max}=M/3+N/5$. Если $Q_{max}>Q$, $N<1.875Q$ и $M < 1.875Q$, то ограничение на нас не влияет и всё как в пункте $4$ и $15Q/8$ часов для каждого. Если $Q_{max}>Q$ и $N<1.875Q < M$: Александр успеет сделать $N/5$ задач, тогда на Максима приходятся $Q-N/5$ задач и его время составит $3Q-(3N/5)$ часов и суммарное время составит $3Q+2N/5$ часов. Если $Q_{max}>Q$ и $M<1.875Q < N$: Максим успеет сделать $M/3$ задач, тогда на Александра приходятся $Q-M/3$ задач и его время составит $5Q-(5M/3)$ часов и суммарное время составит $5Q-2M/3$ часов.

Время на задачки — 6 класс

Похожие задачи