Дядя Фёдор не любит конкурентов
Шло время, Дядя Фёдор рос и организовал бизнес. Он решил выращивать сельхоз продукты (что очень кстати в условиях санкций), а именно огурцы ( $Q_{1}$ шт.), помидоры ( $Q_{2}$ шт.) и хлеб ( $Q_{3}$ шт.). Жители Простоквашино любят есть бутерброды с огурцами и помидорами, а их спрос на товары Дяди Фёдора описывается уравнениями $Q_{i} =\sqrt{ \frac{Q_{j}Q_{k}}{P^3_{i}}}$, где $P_{i}$ - цена на i-ое благо в ден.ед. за штуку, $Q_{i}, Q_{j}, Q_{k}$ - отраслевые производства благ.Причём потребители готовы купить не более 100 штук каждой позиции. Издержки Дяди Фёдора описываются уравнением $TC_{i} = Q_{i}$, где $Q_{i}$ - производство Фёдором i-го блага. Но у самого известного жителя Простоквашино завелся Коварный Конкурент (далее КК). КК имеет издержки $TC_{i} = Q^2_{i} - Q_{i} + 1$, где $Q_{i}$ - производство i-го блага КК, и конкурирует с Дядей Фёдором следующим образом: сперва Федя называет свое производство каждого товара, потом КК выбирает своё. Дядя Фёдор не любит конкурентов, но обожает деньги, потому следующей задачей после максимизации прибыли для него является минимизация доли КК на рынке (суммы производств каждого товара КК). Каким же будет равновесие в Простоквашино? Найдите цены и объемы производства каждого товара каждым игроком на рынке.
Решение
Из $Q_{i} =\sqrt{ \frac{Q_{j}Q_{k}}{P^3_{i}}}$ получим $P_{i} =\sqrt[3]{ \frac{Q_{j}Q_{k}}{Q^2_{i}}}$, а значит $P_{i}Q_{i} =\sqrt[3]{Q_{1}Q_{2}Q_{3}}$ . Так как прибыль Дяди Фёдора будет выше, когда выше спрос, а спрос без участия КК выше, чем с его участием, то максимальная прибыль Дяди Фёдора равна $3\sqrt[3]{Q_{1}Q_{2}Q_{3}} - Q_{1} - Q_{2} - Q_{3}$, однако из неравенства средних это выражение всегда не больше 0. Равенство достигается при $Q_{1} = Q_{2} = Q_{3}$. Дядя Федор не любит КК, значит выберет максимально возможные выпуски, а именно 100. При этом все цены станут равны между собой и равны 1. Ответ: $Q_{1} = Q_{2} = Q_{3} = 100; P_{1} = P_{2} = P_{3} = 1$. Примечание: Спасибо Игорю Карпову за ценные замечания по формулировке и решению задачи! Update: мы с Игорем выяснили, что решение не верно, так как не понятно, почему монополия на всех рынках в этом случае даст максимум прибыли, ведь рынки зависят между собой. В ближайшее время запрягаем и сделаем нормальное решение