Питание домашних питомцев
Пенсионер Иван Иванович очень любит свою маленькую собачку Эку. Поскольку Иван Иванович заботится о своей питомице, то строго следит, чтобы Эка получала достаточное количество питательных веществ из мясных продуктов. Он посчитал, что если бы его собачка питалась только мясной мякотью, то ей требовалось бы не менее 4 кг этого продукта в месяц. Кроме того, Иван Иванович определил, что каждые 1 кг мякоти и 5 кг супового набора будут для его питомца эквивалентны между собой по содержанию необходимых питательных веществ. Пенсионер с большим удовольствием занимается приготовлением пищи для Эки и может потратить на это все своё свободное время, но он больше ценит общение и игру со своей питомицей. Однако Иван Иванович считает, что для качественного приготовления пищи он должен потратить для своей любимицы столько времени, чтобы обработать не менее, чем 6 кг супового набора (в месяц). Приготовление пищи из 1 кг мякоти занимает у Ивана Ивановича в 3 раза меньше времени, чем из 1 кг супового набора. Мясную мякоть для Эки он может купить по 300 руб./кг, а мясной суповой набор – по 100 руб./кг. Помогите Ивану Ивановичу определить, каков будет месячный мясной рацион у его питомицы и каковы будут его расходы на мясные продукты для Эки, если пенсионер старается обеспечить собачку необходимыми питательными веществами, сэкономив при этом денежные средства.
Решение
Пенсионер сталкивается со следующими ограничениями: $$
\left\{ \begin{aligned} M+\dfrac{C}{5} \ge 4\\ \dfrac{M}{3}+C \ge 6\\ \end{aligned} \right.
$$ Где, $M$ - количество мякоти в кг, $C$ - количество супового набора в кг. Первое ограничение отражает ограничение в потреблении продуктов, накладываемое требованием рациона. Второе ограничение отражает желание пенсионера тратить на заботу о своей питомице не меньше времени, чем некоторое значение, соответствующее приготовлению $6$ кг супового набора. Графический поиск оптимальных значений: допустимое множество значений $M$ и $C$ представлено множеством, лежащем правее ломаной $ABD$ (включая саму ломаную линию). Линия (пунктирная) $3M+C=W=const$ , представляет совокупность таких наборов мясных продуктов ($M$, $C$), на которые пенсионер потратит сумму $W$ рублей. Все наборы ($M$, $C$), которые лежат левее этого отрезка, стоят меньше, чем $W$ рублей. Поэтому единственный набор мясных продуктов, который удовлетворяет указанным выше ограничениям и даёт наименьшую стоимость – набор $B$. Количество $M$ и $C$ в этом наборе определяется решением системы уравнений: $$
\left\{ \begin{aligned} M+\dfrac{C}{5} = 4\\ \dfrac{M}{3}+C = 6\\ \end{aligned} \right.
$$ Откуда находим, что оптимальный для Ивана Ивановича набор мякоти и супового набора составляет $M=3$ кг и $C=5$ кг. Аналитический поиск оптимальных значений: сразу заметим, что для любого набора продуктов, количество которых одновременно удовлетворяет строгим неравенствам $M+\dfrac{C}{5}>4$ и $\dfrac{M}{3}+C > 6$ всегда можно сократить потраченную на них сумму, снизив объем покупки какого-либо из товаров (или обоих сразу). Поэтому для того, чтобы потратить на набор мясных продуктов как можно меньше средств, необходимо, чтобы было выполнено хотя бы одно из условий: $M+\dfrac{C}{5}=4$ , $\dfrac{M}{3}+C = 6$. Единственный набор, который удовлетворяет обоим условиям – $M=3$, $C=5$. Покажем, что любой набор продуктов, удовлетворяющий условиям \[ \left\{\begin{array}{cсc} M+\dfrac{C}{5} > 4\\ \dfrac{M}{3}+C = 6\\ \end{array} \right. \begin{array} \text{или} \end{array} \left\{\begin{array}{cc} M+\dfrac{C}{5} = 4\\ \dfrac{M}{3}+C > 6\\ \end{array} \right. \] стоит больше, чем набор $M=3$, $C=5.$ Набор продуктов $M=3, C=5$ стоит $300\cdot 3+100 \cdot 5=1400$ руб. Рассмотрим первую систему условий. Увеличивая количество мякоти (относительно $M=3$) на любую допустимую величину $X$, необходимо сократить количество супового набора на $X/3$, таким образом, мы увеличиваем стоимость набора продуктов на $(300X-100X/3)$. Рассмотрим вторую систему условий. Сокращая количество мякоти (относительно $M=3$) на любую допустимую величину $X$, необходимо увеличить количество супового набора на $5X$, что увеличит стоимость набора продуктов на $(500X-300X)$. Таким образом, набор продуктов $M=3, C=5$ удовлетворяет всем описанным неравенствам и дает наименьшую стоимость среди всех допустимых по условию задачи наборов. Примечание: Если в качестве «этого продукта» при решении была учтена мясная мякоть, а не суповой набор, то решение аналогично, но ограничения выглядят следующим образом: $$
\left\{ \begin{aligned} M+\dfrac{C}{5} \ge 4\\ \dfrac{C}{3}+M \ge 6\\ \end{aligned} \right.
$$ Тогда ответ в задаче: $1$ кг мясной мякоти и $15$ кг супового набора, стоимость которых составляет $1800$ рублей. Критерии проверки: Верно выписано ограничение по рациону 4 балла. Верно выписано ограничение по времени 4 балла. Верно определён набор, который удовлетворяет обоим ограничениям 3 балла . Если допущена арифметическая ошибка, ставится лишь 2 балла . Верно обосновано, что именно данный набор даёт минимальные расходы 7 баллов . Верно определены расходы 2 балла . Если допущена арифметическая ошибка, ставится лишь 1 балл. Если задача решена перебором лишь целых значений килограммов продуктов без обоснования того, почему именно данные наборы рассмотрены, то за все решение ставилось не более 5 баллов. Если задача решена перебором лишь целых значений килограммов продуктов с неполным обоснованием того, почему именно данные наборы рассмотрены, то за все решение ставилось не более 10 баллов. Если задача решена перебором лишь целых значений килограммов продуктов с учётом всех указанных в решении ограничений и обоснованием того, почему именно данные наборы рассмотрены, то за все решение ставилось не более 15 баллов. Ответ: $3$ кг мясной мякоти и $5$ кг супового набора. Стоимость набора составляет $1400$ рублей.
\left\{ \begin{aligned} M+\dfrac{C}{5} \ge 4\\ \dfrac{M}{3}+C \ge 6\\ \end{aligned} \right.
$$ Где, $M$ - количество мякоти в кг, $C$ - количество супового набора в кг. Первое ограничение отражает ограничение в потреблении продуктов, накладываемое требованием рациона. Второе ограничение отражает желание пенсионера тратить на заботу о своей питомице не меньше времени, чем некоторое значение, соответствующее приготовлению $6$ кг супового набора. Графический поиск оптимальных значений: допустимое множество значений $M$ и $C$ представлено множеством, лежащем правее ломаной $ABD$ (включая саму ломаную линию). Линия (пунктирная) $3M+C=W=const$ , представляет совокупность таких наборов мясных продуктов ($M$, $C$), на которые пенсионер потратит сумму $W$ рублей. Все наборы ($M$, $C$), которые лежат левее этого отрезка, стоят меньше, чем $W$ рублей. Поэтому единственный набор мясных продуктов, который удовлетворяет указанным выше ограничениям и даёт наименьшую стоимость – набор $B$. Количество $M$ и $C$ в этом наборе определяется решением системы уравнений: $$
\left\{ \begin{aligned} M+\dfrac{C}{5} = 4\\ \dfrac{M}{3}+C = 6\\ \end{aligned} \right.
$$ Откуда находим, что оптимальный для Ивана Ивановича набор мякоти и супового набора составляет $M=3$ кг и $C=5$ кг. Аналитический поиск оптимальных значений: сразу заметим, что для любого набора продуктов, количество которых одновременно удовлетворяет строгим неравенствам $M+\dfrac{C}{5}>4$ и $\dfrac{M}{3}+C > 6$ всегда можно сократить потраченную на них сумму, снизив объем покупки какого-либо из товаров (или обоих сразу). Поэтому для того, чтобы потратить на набор мясных продуктов как можно меньше средств, необходимо, чтобы было выполнено хотя бы одно из условий: $M+\dfrac{C}{5}=4$ , $\dfrac{M}{3}+C = 6$. Единственный набор, который удовлетворяет обоим условиям – $M=3$, $C=5$. Покажем, что любой набор продуктов, удовлетворяющий условиям \[ \left\{\begin{array}{cсc} M+\dfrac{C}{5} > 4\\ \dfrac{M}{3}+C = 6\\ \end{array} \right. \begin{array} \text{или} \end{array} \left\{\begin{array}{cc} M+\dfrac{C}{5} = 4\\ \dfrac{M}{3}+C > 6\\ \end{array} \right. \] стоит больше, чем набор $M=3$, $C=5.$ Набор продуктов $M=3, C=5$ стоит $300\cdot 3+100 \cdot 5=1400$ руб. Рассмотрим первую систему условий. Увеличивая количество мякоти (относительно $M=3$) на любую допустимую величину $X$, необходимо сократить количество супового набора на $X/3$, таким образом, мы увеличиваем стоимость набора продуктов на $(300X-100X/3)$. Рассмотрим вторую систему условий. Сокращая количество мякоти (относительно $M=3$) на любую допустимую величину $X$, необходимо увеличить количество супового набора на $5X$, что увеличит стоимость набора продуктов на $(500X-300X)$. Таким образом, набор продуктов $M=3, C=5$ удовлетворяет всем описанным неравенствам и дает наименьшую стоимость среди всех допустимых по условию задачи наборов. Примечание: Если в качестве «этого продукта» при решении была учтена мясная мякоть, а не суповой набор, то решение аналогично, но ограничения выглядят следующим образом: $$
\left\{ \begin{aligned} M+\dfrac{C}{5} \ge 4\\ \dfrac{C}{3}+M \ge 6\\ \end{aligned} \right.
$$ Тогда ответ в задаче: $1$ кг мясной мякоти и $15$ кг супового набора, стоимость которых составляет $1800$ рублей. Критерии проверки: Верно выписано ограничение по рациону 4 балла. Верно выписано ограничение по времени 4 балла. Верно определён набор, который удовлетворяет обоим ограничениям 3 балла . Если допущена арифметическая ошибка, ставится лишь 2 балла . Верно обосновано, что именно данный набор даёт минимальные расходы 7 баллов . Верно определены расходы 2 балла . Если допущена арифметическая ошибка, ставится лишь 1 балл. Если задача решена перебором лишь целых значений килограммов продуктов без обоснования того, почему именно данные наборы рассмотрены, то за все решение ставилось не более 5 баллов. Если задача решена перебором лишь целых значений килограммов продуктов с неполным обоснованием того, почему именно данные наборы рассмотрены, то за все решение ставилось не более 10 баллов. Если задача решена перебором лишь целых значений килограммов продуктов с учётом всех указанных в решении ограничений и обоснованием того, почему именно данные наборы рассмотрены, то за все решение ставилось не более 15 баллов. Ответ: $3$ кг мясной мякоти и $5$ кг супового набора. Стоимость набора составляет $1400$ рублей.