Задача 4 ОЧ-2015 (9 класс)

$q=\begin{cases} p, & 0\le p<5\\ \dfrac{p+27}{4}, & p\ge 5\end{cases}$

Цель фирмы – максимизация прибыли. Поэтому она максимизирует функцию $PR=pq−TC$ Рассмотрим оптимальное поведение фирмы на каждом из участков функции $$ \pi= \begin{cases} pq-\dfrac{q^{2}}{2}, &0\le q\le 7\\ pq-(-27q+2q^{2}+115,5), & q \gt 7\\ \end{cases} $$ Найдем оптимальное количество в зависимости от цены на каждом из участков функции. (На каждом участке функция представляет собой параболу с ветвями вниз). $$q^{*}=p, q\le 7$$ $$q^{*}=\dfrac{p+27}{4}, q>7$$ Осталось понять следующее. Функция предложения – зависимость $Q(P)$. То есть, чтобы задать функцию предложения, необходимо для каждого значения цены указать соответствующий ей оптимальный уровень выпуска. Рассмотрим, при каких ценах фирме «Альфа» выгодно производить до 7 единиц продукции, а когда более 7 единиц продукции. Для этого подставим найденные функции $q(p)$ в функции прибыли. Решим неравенство. $$pq− \dfrac{q^{2}}{2} \le pq-(-27q+2q^{2}+115,5)$$ $$p^{2}−\dfrac{p^{2}}{2} \le p\dfrac{p+27}{4}−(−27\dfrac{p+27}{4}+2\left(\dfrac{p+27}{4}\right)^{2}+115,5)$$ $$3p^{2}−54p+195\le 0$$ $$p^{2}−18p+65\le 0$$ $$p\in [5;13]$$ Таким образом, если цена меньше 5, то мы используем первый участок. Далее мы используем второй участок (т.е. производим $q^{*}=\dfrac{p+27}{4}$). Таким образом, получаем ответ. Ответ: $$ q= \begin{cases} p, &0\le p\lt 5\\ \dfrac{p+27}{4}, & p \ge 5\\ \end{cases} $$